ABC266G

ABC266G

*2045

推荐作为二项式反演的例题。

实战意义远大于定数意义。

题意

给你四个整数 \(R,G,B,K\)。

你需要求出有多少个由 R，G，B 组成的字符串满足以下条件：

1. R，G，B 的个数恰好分别为 \(R,G,B\) 。

2. 子串 RG 的出现次数恰好为 \(K\)。

答案对 \(998244353\) 取模。

题解

看到 “出现次数恰好为 \(K\) ”，考虑二项式反演。

设 \(f(x)\) 表示 “钦定子串 RG 出现了 \(x\) 次的方案数”，\(g(x)\) 表示 “恰好子串 RG 出现了 \(x\) 次的方案数”。

那么 \(f(x)\) 是很好计算的，将 RG 看做第四个字符然后计算排列最后对四个字符消序即可。

即：设 \(n=R+G+B\) ，则

\[f(x)=\frac{n!}{x!\ · \ (R-x)!\ ·\ (G-x)!\ · \ B!} \]

然而 \(g(x)\) 就不那么便于直接计算了，需要通过 \(f(x)\) 计算。

首先考虑 \(f,g\) 的关系。

由于一个是 “钦定（至少）”，一个是 “恰好”，所以对于任意的 \(n \le i\)，\(g(i)\) 在 \(f(n)\) 中被计算了 \(\binom{i}{n}\) 次。

也就是 \(f(x)=\sum_{i=x}^{lim}\binom{i}{x}g(i)\) ，其中 \(lim=min(R,G)\) 。

运用 二项式反演 的常用形式，可以得到：

（↑上面这个博客讲得超级好诶，真的不去看看嘛）

\[g(x)=\sum_{i=x}^{lim}(-1)^{i-x}\binom{i}{n}f(i) \]

用这个式子就可以计算出 \(g(k)\) 也就是答案啦~

代码

const ll maxn=3e6+5,mod=998244353;
ll ksm(ll x,ll k){ll res=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%mod)if(k&1)res=res*x%mod;return res;}
ll a,b,c,k;
ll fac[maxn],inv[maxn];
ll n;
ll C(ll x,ll y){return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
void init(){
	n=a+b+c;
	fac[0]=inv[0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);
	}
}
ll f[maxn],g[maxn];
void solve(){
	a=R,b=R,c=R,k=R;
	init();
	ll lim=min(a,b);
	for(ll i=k;i<=lim;i++){
		f[i]=fac[n-i]*inv[i]%mod*inv[a-i]%mod*inv[b-i]%mod*inv[c]%mod;
	}
	ll ans=0;
	for(ll i=k;i<=lim;i++){
		ans=(ans+((i-k)%2==1?mod-1:1)*C(i,k)%mod*f[i]%mod)%mod;
	}
	we(ans);
	return ;
}