ABC255Ex

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*2430

思路较为简单。

调了一下午加一早上，发现是人眼做 ${10}^{18}$ 级整数比大小判错了，抬走。

题意

给定一片 $N$ 格的农田，从第 $0$ 天开始，第 $i$ 格农田每天会长出 $i$ 的作物。

给出 $Q$ 个询问，每次询问以 $D,L,R$ 的格式给出，表示询问在第 $D$ 天，收割 $[L,R]$ 的农田，会获得多少作物？答案对 $998244353$ 取模。注意询问相互依赖，即在每一次收割后，$[L,R]$ 的作物应当清零。

$1\le l_i\le r_i\le n\le {10}^{18}$

$1\le q\le 2\times {10}^5$

$1<d_1<d_2<...<d_q\le {10}^{18}$

题解

值域很大，传统的线段树无法维护。动态开点线段树根据实现的好坏，需要不同程度的卡常。

考虑使用 std::set 维护操作过的区间。假设一次操作 $(d,l,r)$ 所操作的区间先前未被操作过，则根据等差数列求和公式，本次操作的答案为 $\frac{d·(r+l)·(r-l+1)}{2}$。

注意到对于一个相同的区间 $[l,r]$，在操作 $(d,l,r)$ 前有操作 $(d_0,l,r)$，则 $(d,l,r)$ 的答案是 $\frac{(d-d_0)·(r+l)·(r-l+1)}{2}$，其后 $d_0$ 不再影响接下来的操作，$d$ 取而代之。

于是在计算答案是可以先计算出不受任何影响的 $\frac{d·(r+l)·(r-l+1)}{2}$，然后再减去与区间 $[l,r]$ 有交的先前操作的影响，最后由于操作的覆盖性质直接去掉这些相交的区间，并覆盖上 $(d,l,r)$ 即可。

实现上，使用 std::set 维护保留下的所有区间，按 $l$ 为第一关键字排序，每次操作时找到所有与 $[l,r]$ 有交的操作然后减去先前操作的影响。

对相交的情况分类讨论即可。

发现如此维护区间后，std::set 内保留的区间两两不交。共有 $q$ 次询问，每次询问都会插入一个区间，每个区间若导致分裂只会产生 $O(1)$ 个新区间，覆盖其他区间则直接将其删除，而每个块最多被删除一次。总区间数及其操作数仍在 $O(q)$ 级别，单次操作时间复杂度为 $O(\log q)$，故总复杂度为 $O(q\log q)$ ，可以通过本题。

代码

const ll maxn=2e5+5,mod=998244353,inv=499122177;
struct node{
	ll l,r,d;
	friend bool operator < (const node &x,const node &y){
		return x.l==y.l?x.r<y.r:x.l<y.l;
	}
};
set<node>s;
ll ins(ll l,ll r,ll d){
	ll res=((r+l)%mod*((r-l+1)%mod)%mod)*(d%mod)%mod*inv%mod;//计算原始答案
	auto it=s.lower_bound((node){l,0,d});
	while(it!=s.end()&&it->l<=r){//左端点落在区间内
		if(it->r<=r){//完全被区间包含
			res=(res+mod-((it->r+it->l)%mod*((it->r-it->l+1)%mod)%mod*(it->d%mod)%mod*inv%mod)%mod)%mod;
			s.erase(*it);
		}
		else{//右端点在区间外
			node tmp=*it;
			res=(res+mod-((r+it->l)%mod*((r-it->l+1)%mod)%mod*(it->d%mod)%mod*inv%mod)%mod)%mod;
			s.erase(*it);
			s.insert((node){r+1,tmp.r,tmp.d});
		}
		it=s.lower_bound((node){l,0,d});
	}
	if(it!=s.begin()){
		it--;
		if(it->r>=l){//要求有交
			if(it->r<=r){//左端点在区间外
				node tmp=*it;
				res=(res+mod-((it->r+l)%mod*((it->r-l+1)%mod)%mod*(it->d%mod)%mod*inv%mod)%mod)%mod;
				s.erase(*it);
				s.insert((node){tmp.l,l-1,tmp.d});
			}
			else {//区间完全被包含
				node tmp=*it;
				res=(res+mod-((r+l)%mod*((r-l+1)%mod)%mod*(it->d%mod)%mod*inv%mod)%mod)%mod;
				s.erase(*it);
				s.insert((node){tmp.l,l-1,tmp.d});
				s.insert((node){r+1,tmp.r,tmp.d});
			}
		}
		
	}
	s.insert((node){l,r,d});
	return res;
}
ll n,m;
void solve(){
	n=R,m=R;
	while(m--){
		ll d=R,l=R,r=R;
		we(ins(l,r,d));
	}
	return ;
}