ABC149F

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*2208

题意

给定一个 $n$ 个节点的树，每个点的颜色 $\frac{1}{2}$ 概率黑色，$\frac{1}{2}$ 概率白色，问这棵树上节点数最少的，包括所有黑色节点的连通块的白色节点的数量的期望。答案对 ${10}^9+7$ 取模。

$n\le 2\times {10}^5$，AT中文版一开始的翻译莫名其妙让 $n$ 缩水一倍导致我 RE 了一发。

题解

一开始以为是妙妙 DP，推了很久转移。后面发现是正难则反，对于每个点算贡献。

考虑一个点在什么情况下 不会 被记入答案。一种情况是其本身是黑点，不会直接贡献答案，一种情况则是其不被任何一个连通块包含。

对于不被任何一个连通块包含的情况，只有两种可能：一种是全部的黑点都在它的其中一个子树中（这里暂时把它看做根），一种是没有黑点。

设 $siz$ 表示一个点的子树大小，当前点为 $u$，则（除自己之外）没有黑点的概率是 $2^{-(n-1)}$，全部的黑点都在子树 $v$ 中的概率为 $2^{-(n-si{z}_v-1)}-2^{-(n-1)}$，全部加起来，然后乘上自身要作为白点的 $\frac{1}{2}$ 即为点 $u$ 的贡献。

最后累加所有点的贡献即为答案。

代码

const ll maxn=2e5+5,mod=1e9+7;
vector<ll>e[maxn];
ll ksm(ll x,ll k){ll res=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%mod)if(k&1)res=res*x%mod;return res;}
ll n;
ll ans;
ll inv[maxn],siz[maxn];
ll neg(ll x){
	return mod-x;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	ll res=1;
	siz[x]=1;
	res=(res+neg(inv[n-1]))%mod;
	for(auto v:e[x]){
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,x);
		siz[x]+=siz[v];
		res=(res+neg((inv[n-siz[v]-1]+neg(inv[n-1]))%mod))%mod;
	}
	res=(res+neg((inv[siz[x]-1]+neg(inv[n-1]))%mod))%mod;
	res=res*inv[1]%mod;
	ans=(ans+res)%mod;
	return ;
}
void solve(){
	n=R;
	inv[0]=1,inv[1]=ksm(2,mod-2);
	for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[1]%mod;
	for(ll i=1;i<n;i++){
		ll x=R,y=R;
		e[x].push_back(y);
		e[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	we(ans);
	return ;
}