Grubbs' Test
目的：
检测异常值Grubbs的检验（Grubbs 1969和Stefansky 1972）用于检测单变量数据集中的单个异常值，该单变量数据集遵循近似正态分布。
如果您怀疑可能存在多个异常值，建议您使用Tietjen-Moore测试或广义极端学生化偏差测试而不是Grubbs测试。
格拉布斯的测试也称为最大标准残差测试。实际上，Grubbs' Test可理解为检验最大值、最小值偏离均值的程度是否为异常。
定义:
Grubbs的测试是针对假设定义的：
H0：数据集中没有异常值
H1：数据集中只有一个异常值
Grubbs的测试统计定义为：
Y和s分别表示样本均值和标准差。 Grubbs的检验统计量是样本标准偏差单位与样本均值的最大绝对偏差。
这是测试的双边检测。 Grubbs的测试也可以定义为以下单边检测：
测试最小值是否为异常值：
用Ymin表示最小值。
测试最大值是否为异常值：
Ymax表示最大值。
显着性等级：α
关键：对于双侧检验，如果没有异常值的假设则被拒绝
用tα/（2N），N-2表示具有（N-2）自由度的t分布的临界值和α/（2N）显着性水平。对于单侧测试，我们使用α/ N的显着性水平。
▲概述：一组测量数据中，如果个别数据偏离平均值很远，那么这个( 这些) 数据称作“可疑值”。如果用统计方法—例如格拉布斯(Grubbs) 法判断，能将“可疑值”从此组测量数
据中剔除而不参与平均值的计算，那么该“可疑值”就称作“异常值( 粗大误差) ”。本文就是介绍如何用格拉布斯法判断“可疑值”是否为“异常值”。
▲测量数据：例如测量10 次( n＝ 10) ，获得以下数据： 8.2 、5.4 、14.0 、7.3 、4.7 、9.0 、6.5 、10.1 、7.7 、6.0 。
▲排列数据： 将上述测量数据按从小到大的顺序排列， 得到4.7 、5.4 、6.0 、6.5 、7.3 、7.7 、8.2 、9.0 、10.1 、14.0 。可以肯定，可疑值不是最小值就是最大值。
▲计算平均值x- ＝7.89和标准差s＝ 2.704 。计算时，必须将所有10 个数据全部包含在内。
▲计算偏离值：平均值与最小值之差为7.89 － 4.7 ＝ 3.19 ；最大值与平均值之差为14.0 －7.89 ＝ 6.11 。
▲确定一个可疑值：比较起来，最大值与平均值之差6.11 大于平均值与最小值之差3.19 ，因此认为最大值14.0 是可疑值。
▲计算Gi 值： Gi ＝ ( xi － x- )/ s；其中i 是可疑值的排列序号— 10 号；因此G10＝( x10－ x- )/ s＝ (14.0 －7.89)/2.704 ＝2.260 。由于x10－ x-是残差，而s 是标准差，因而可认为G10 是残差与标准差的比值。
下面要把计算值Gi 与格拉布斯表给出的临界值GP( n) 比较，如果计算的Gi 值大于表中的临界值GP( n) ，则能判断该测量数据是异常值，可以剔除。但是要提醒，临界值GP( n) 与两个参数有关：检出水平α ( 与置信概率
P有关) 和测量次数n ( 与自由度f 有关) 。
▲定检出水平α：如果要求严格，检出水平α 可以定得小一些，例如定α ＝0.01 ，那么置信概率P＝1－ α＝ 0.99 ；如果要求不严格， α 可以定得大一些，例如定α ＝ 0.10 ，即P＝0.90 ；通常定α＝ 0.05 ，P＝ 0.95 。
▲查格拉布斯表获得临界值：根据选定的P值( 此处为0.95) 和测量次数n( 此处为10) ，查拉布斯表，横竖相交得临界值G95(10) ＝ 2.176 。
格
▲比较计算值Gi 和临界值G95(10) ：Gi ＝ 2.260 ，G95(10) ＝ 2.176 ，Gi ＞G95(10) 。
▲判断是否为异常值：因为Gi ＞G95(10) ，可以判断测量值14.0 为异常值，将它从10 个测量数据中剔除。
▲余下数据考虑：剩余的9 个数据再按以上步骤计算，如果计算的Gi ＞G95(9) ，仍然是异常值，剔除；如果Gi ＜G95(9) ，不是异常值，则不剔除。本例余下的9 个数据中没有异常值。
格拉布斯表——临界值GP( n)
对异常值及统计检验法的解释
■测量过程是对一个无限大总体的抽样：对固定条件下的一种测量，理论上可以无限次测量下去，可以得到无穷多的测量数据，这些测量数据构成一个容量为无限大的总体；或者
换一个角度看，本来就存在一个包含无穷多测量数据的总体。实际的测量只不过是从该无限大总体中随机抽取一个容量为n( 例如n＝ 10) 的样本。这种样本也可以有无数个，每个样
本相当于总体所含测量数据的不同随机组合。样本中的正常值应当来自该总体。通常的目的是用样本的统计量来估计总体参量。总体一般假设为正态分布。
■异常值区分：样本中的正常值应当属于同一总体；而异常值有两种情况：第一种情况异常值不属于该总体，抽样抽错了，从另外一个总体抽出一个( 一些) 数据，其值与总体平均
值相差较大；第二种情况异常值虽属于该总体，但可能是该总体固有随机变异性的极端表现，比如说超过3σ 的数据， 出现的概率很小。用统计判断方法就是将异常值找出来， 舍去。
■犯错误1：将本来不属于该总体的、第一种情况的异常值判断出来舍去，不会犯错误；将本来属于该总体的、出现的概率小的、第二种情况的异常值判断出来舍去，就会犯错误。
■犯错误2：还有一种情况， 不属于该总体但数值又和该总体平均值接近的数据被抽样抽出来，统计检验方法判断不出它是异常值，就会犯另外一种错误。
■异常值检验法：判断异常值的统计检验法有很多种，例如格拉布斯法、狄克逊法、偏度-峰度法、拉依达法、奈尔法等等。每种方法都有其适用范围和优缺点。
■格拉布斯法最佳：每种统计检验法都会犯犯错误1 和错误2。但是有人做过统计，在所有方法中，格拉布斯法犯这两种错误的概率最小，所以推荐使用格拉布斯法。
■多种方法结合使用：为了减少犯错误的概率，可以将3 种以上统计检验法结合使用，根据多数方法的判断结果，确定可疑值是否为异常值。
■异常值来源：测量仪器不正常，测量环境偏离正常值较大，计算机出错，看错，读错，抄错，算错，转移错误。
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参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Grubbs%27s_test_for_outliers
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35h1.htm
https://wenku.baidu.com/view/84695b4e852458fb770b56bb?from=timeline&isappinstalled=0
