构造函数解导数小题

在高中数学中，遇到导数小题，我常常对答案的构造方式感到不屑，但是新拿一道题自己又构造不出来，还是太弱了。

不过，我们常常在题目中能见到\(\displaystyle g(x)f'(x)+h(x)f(x)\)的形式。对于这样的形式，有一个适用范围很广的构造：\(\displaystyle F(x)=e^{m(x)}f(x)\), 其中\(\displaystyle m'(x)=\frac{h(x)}{g(x)}\).
 
来看两道例题：（为简单起见，选择了较直白容易的例题）
 
例1： \(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x<0\)时，\(f(x)+xf'(x)<0\), 且\(f(-4)=0\), 则不等式\(xf(x)>0\)的解集为\(\underline{(-\infty,-4)\cup(0,4)}\).
解： 构造\(\displaystyle F(x)=xf(x)\), 则\(F'(x)=f(x)+xf'(x)<0\), 则\(F(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递减。又\(f(x)\)是偶函数，则\(F(x)=xf(x)\)是奇函数，有\(F(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。由题意知\(f(-4)=0=f(4)\), 即\(F(-4)=F(4)=0\). 结合单调性可知\(F(x)>0\)的解集为\((-\infty,-4)\cup(0,4)\), 即为答案。
 
例2： 已知偶函数\(f(x)(x\ne0)\)的导函数为\(f'(x)\), 且满足\(f(-1)=0\), 当\(x>0\)时，\(2f(x)>xf'(x)\), 则使得\(f(x)>0\)成立的\(x\)的取值范围是\(\underline{(-1,0)\cup(0,1)}\).
解： 构造\(\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x^2}\), 则\(\displaystyle F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{x^2}<0\), 则\(F(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。又\(f(x)\)是偶函数，则\(\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x^2}\)是偶函数，有\(F(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递增。由题意知\(f(-1)=0=f(1)\), 即\(F(-1)=F(1)=0\). 结合单调性可知\(F(x)>0\)的解集为\((-1,0)\cup(0,1)\), 即为答案。
 
我们来分析文章开头所述的构造的理由。\(\displaystyle F'(x)=\left[f'(x)+\frac{h(x)}{g(x)}f(x)\right]\cdot e^{m(x)}=\left[g(x)f'(x)+h(x)f(x)\right]\cdot\frac{e^{m(x)}}{g(x)}\), 而\(g(x)f'(x)+h(x)f(x)\)一般为题目给的条件，且和\(g(x)\)共同决定着\(F'(x)\)的正负，也就共同决定\(F(x)\)的单调性。再利用构造出的\(F(x)\)的单调性就可以得到待求信息。