线段树--从入门到入土

线段树，强大的数据结构，用处也是比较广的。

首先，我们要明白线段树是个啥？

线段树，线段嘛，有左右端点，那么它当然可以代表一个区间，那么区间上的好多事情都可以用它来搞，比如：区间加，区间乘，区间求和。

首先让我们先看个线段树的模型。

如图，这就是一棵线段树的模型。

圈内的点表示这是第几个点，红色表示这个点表示的区间范围。

每个点和它的左右两个儿子的编号是有一定的关系的：

点N，它的左儿子编号为N$\times$2,右儿子编号为N$\times$2+1.

线段树支持单点修改，区间修改，单点查询，区间查询。

讲解有易到难。

先放一张后边当例子讲解的图(每个圈中的数表示的为这个区间的和)。

构建线段树框架

假设一段长度为 N 的序列，那么我们需要维护总长为 1--N 的线段。

对于每一个点，我们需要确定它所表示的线段的左端点右端点以及我们要维护的区间和

对于每个点的左儿子和右儿子来说，左儿子继承前一半 [L,(L+R)/2]，右儿子继承后一半( (L+R)/2,R ]。

还有我们维护的区间和，每个大区间都是有两个小区间组成，那么大区间的和 = 左儿子的和+右儿子的和。

这部分代码：

struct ahah{
    long long l,r,sum,f;　　//对于 f 的作用，后边会有解释，此处忽略。
}tree[200000<<2];　　　　注意此处四倍空间。
void build(int k,int l,int r)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%lld",&tree[k].sum);
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

单点查询与修改

单点修改，我们已知单点的位置，那么我们从一号点开始，根据两个儿子所代表的区间范围，选择下一步是走左儿子还是右儿子，今儿一步步的确定准确的点。

单点查询与单点修改几乎一样，查询到具体的位置后，输出其结果。

拿上边的图进行模拟下：

修改4号点：左儿子[0,4],右儿子[5,8] ->选择左儿子 ->左儿子[0,2],右儿子[3,4] ->选择右儿子 ->... -> 找到4号点修改。

查询同上。

当我们修改完某个点以后，包含这个点的区间的和发生了改变，所以最后我们还要加一句：

$tree[k].sum=tree[k \times 2].sum+tree[k \times 2+1].sum$ 以确保维护的区间和不会改变。

代码：k表示点的编号，需要给x号点加上y 。

void update(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].sum+=y;
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)update(k<<1);
    else update(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

区间求和与修改

区间修改与查询也有很大的相似。

区间修改，暂时来说我们没有好办法，只能一个一个的修改区间中的每一个元素，后边会有优秀做法的讲解。

区间查询，我们需要明确这个被查询的区间位置。

以下被查询的区间用[a,b]表示,k表示当前的点的编号。

首先我们从最大的区间开始，判断被查询的区间，有三种情况：

1.位于左儿子中($b \le tree[k<<1].l $)还是右儿子中($a > tree[k<<1|1].l $)，然后选择下一步是去左儿子还是右儿子。

2.被查询的区间被两部分都包括，那么我们就将区间分开，一部分查询左区间，一部分查询右区间。

3.现在的点所代表的区间$(a <= tree[k].l , b >= tree[k].r )$ 被要查询的区间所包含，那么不需要再查下去，直接将答案加上这段区间所维护的和就好了。

拿查询区间[3,5]模拟一下：

mid表示当前区间的二分点。

代码用递归实现：

void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);    //先省略就好。
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}

重点来了：懒标记

对于区间修改来说，我们一个一个的修改浪费大量的时间，并且修改了还不一定查修这个点，为了解决这个问题，我们引入懒标记 f 。

首先我们要明确他的一个性质: 懒，用得着的时候动一下，用不着的时候就永远在那。

每个节点的的懒标记记录的是它所代表的这个区间所加的值 f 。

就像区间查询一样，当区间不被包含时，分开查找，当目前区间已被要修改的区间包含时，那么我们就可以直接给这个点，打上懒标记，不需要去准确的一个一个的修改区间内的元素了。

那这样的话必究没法维护区间和了？

我们维护区间和为的是啥？当然是为了求区间和了，当我们在查询的时候，若用得到这整个区间，那么返回维护的值 + 区间元素个数$\times$懒标记的值，若不全用得到的话，那么我们将懒标记下传给它的左右两个儿子，然后继续查找。区间和并不是没有维护，而是在维护懒标记从而间接地维护者区间和。

这里需要注意的是：当节点的懒标记下传给儿子的时候它的懒标记则需要清空，因为已经传给了儿子。

懒标记下传代码：

void down(long long k)
{
    tree[k<<1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1|1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k].f=0;
}

用到懒标记的区间加以及求和：

void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}
void add(long long k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y)
    {
        tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val;
        tree[k].f+=val;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)add(k<<1);
    if(y>mid)add(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}

综上就是先对简单的线段树操作。

贴上模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

long long n,m,ans,x,y,ch,val;
struct ahah{
    long long l,r,sum,f;
}tree[200000<<2];
void build(int k,int l,int r)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%lld",&tree[k].sum);
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
void update(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].sum+=y;
        return ;
    }
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)update(k<<1);
    else update(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
void down(long long k)
{
    tree[k<<1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1|1].f+=tree[k].f;
    tree[k<<1].sum+=(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k<<1|1].sum+=(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1)*tree[k].f;
    tree[k].f=0;
}
void query(int k)
{
    if(x<=tree[k].l&&y>=tree[k].r)
    {
        ans+=tree[k].sum;
        return ;
    }
    if(tree[k].f)down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)query(k<<1);
    if(y>mid)query(k<<1|1);
}
void add(long long k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y)
    {
        tree[k].sum+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*val;
        tree[k].f+=val;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    long long mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
    if(x<=mid)add(k<<1);
    if(y>mid)add(k<<1|1);
    tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=0;
        cin>>ch>>x>>y;
        if(ch==1)
        {
            cin>>val;
            add(1);
        }
        else
        {
            query(1);
            cout<<ans<<"\n";
        }
    }
}