四种典型的递推关系

Ⅰ.Fibonacci数列

在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。

Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。

问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？

解：设满x个月共有兔子F_x对，其中当月新生的兔子数目为N_x对。第x-1个月留下的兔子数目设为O_x对。则：

     F_x=N_x+O_x

而   O_x=F_x-1，

N_x=O_x-1=F_x-2 (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了)

 ∴   F_x=F_x-1+F_x-2          边界条件：   F₀=0，F₁=1

 

由上面的递推关系可依次得到

F₂=F₁+F₀=1，F₃=F₂+F₁=2，F₄=F₃+F₂=3，F₅=F₄+F₃=5，……。

Ⅱ.Hanoi塔问题

问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图1所示。

要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

(1)一次只能移一个圆盘；

(2)圆盘只能在三个柱上存放；

(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。

问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？

解：设h_n为n 个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h₁=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h₂=3。以此类推，当a柱上有n(n2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h_n-1+1+h_n-1个盘次。

     ∴h_n=2h_n-1+1    边界条件：h_n-1=1

 

Ⅲ.平面分割问题

问题的提出：
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：设a_n为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图2可以看出：a₂-a₁=2；a₃-a₂=4；

 

a₄-a₃=6。从这些式子中可以看出a_n-a_n-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成a_n-1­个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的a_n-1个区域，一共有a_n-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是a_n=a_n-1+2(n-1)，边界条件是a₁=1。

平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题，由于其灵活多变，常常让选手感到棘手，

Ⅳ.Catalan数

Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。

问题的提出：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用h_n表之，h_n即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图6-4)，故h₅=5。求对于一个任意的凸n边形相应的h_n。

解：设C_n表示凸n边形的拆分方案总数。由题目中的要求可知一个凸n边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P₁ P_n也不例外，

再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只要在P₂，P₃，……，P_n-1点中找一个点P_k(1<k<n)，与P₁、P_n 共同构成一个三角形的三个顶点，就将n边形分成了三个不相交的部分(如图3所示)，我们分别称之为区域①、区域②、区域③，其中区域③必定是一个三角形，区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形，区域①的拆分方案总数是C_k，区域②的拆分方案数为C_n-k+1，故包含△P₁P_kP_n的n 边形的拆分方案数为C_kC_n-k+1种，而P_k可以是P₂，P₃，……，P_n-1种任一点，根据加法原理，凸n边形的三角拆分方案总数为，同时考虑到计算的方便，约定边界条件C₂=1。

 

小结：通过上面对四种典型的递推关系建立过程的探讨，可知对待递推类的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。

例题精讲

例1、在一个正六边形的六个区域中的每一个区域染上红、黄、蓝、紫四种颜色之一，要求相邻的两个区域染色不相同，则有多少种不同的染色方法？

 

【分析】本问题属于排列组合方面的问题。

思路一：利用排列组合的知识进行求解，由于图形的特殊性，可以按染色情况进行分类。

思路二：将该图形抽象出来，形成一般的问题：“将圆分为个扇形，每个扇形区域染上红、黄、蓝、紫四种颜色之一，要求相邻的扇形区域染色不相同，问有多少种染色方法？”先求通项或递推关系，再求。

【解答】解法一：按A，C，E染色情况进行分类：

故总计共有108+192+432=732种方法。

解法二：将问题抽象成一般问题：“将圆分为个扇形，每个扇形区域染上红、黄、蓝、紫四种颜色之一，要求相邻的扇形区域染色不相同，记染色方法总数为a_n，求a₆”。

 

【评注】（1）解法一中若不按染色情况进行分类可能比较复杂，并且当A,C,E染二种色时，计算染法数比较容易出错；

（2）解法二中关键之处在于建立递推式子，但递推式子建立后计算比较方便。

例2 有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行。试求出蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。

  解：这是一道很典型的Fibonacci数列类题目，其中的递推关系很明显。由于“蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行”的限制，决定了蜜蜂到b点的路径只能是从b-1点或b-2点到达的，故f_n=f_n-1+f_n-2 (a+2nb)，边界条件f_a=1，f_a+1=1。

 

练习：

第1题(5分)，有5本不同的数学书分给5个男同学，有4本不同的英语书分给4个女同学，将全部书收回来后再从新发给他们，与原方案都不相同的方案有________种。

答案：

5!*4!+D(5)*D(4)=1140480

其中：D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))  (n > 2)

      D(1)=0  D(2)=1

 第2题(5分)，在m*n的棋盘上，每个方格(单位正方形，即边长为1的正方形)的顶点称为格点。以格点为顶点的多边形称为格点多边形。若设格点凸N边形面积的最小值为gn，格点凸N边形内部(非顶点的)格点的个数的最小值为fn，则gn和fn的关系式为gn=___________。

答案：

Gn= fn+N/2-1  ( N >= 3 )

第3题(8分)，有位小同学喜欢在方阵中填数字，规则是按下图示例从右上角开始，按斜线填数字，碰到边界就重新。显然，数字1在坐标(1，5)位置，数字25在坐标(5，1)位置。后来这位小朋友想知道，对于N阶的方阵，随机取一个位置(x，y)，并规定x≤y，问这个位置上应该填的数字是多少?5阶方阵的

示例图如下：

    11    7     4     2     1

    16    12    8     5     3

    20    17    13    9     6

    23    21    18    14    10

    25    24    22    19    15

答案：

(N-y+x)*(N-y+x-1)/2+x

第4题(5分)，把三角形各边分成n等分，过每一分点分别做各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形。n为已知整数，能组成_______个平行四边形。

答案：3*C(n+2,4)

 第5题(5分)，由a，b，c3个不同的数字组成一个N位数，要求不出现两个a相邻，也不出现两个b相邻，这样的N位数的个数为A_N，用A_N-1和A_N-2表示AN的关系式为：A_N＝_______________。

答案：

A_N= 2*A_N-1+A_N-2