逻辑推理问题

通常把只涉及一些相互关联（或依存）条件或关系，极少给出（不直接赋与）数量关系与几何图形的一类非标准（常规）数学问题叫逻辑推理问题，处理这类问题，要从一些关联的条件出发，应用某些数学知识，甚至日常生活常识，依据一定的思维规律（机智灵活、准确敏捷的思考），通过分析、推理、排除不可能情况（剔除不合理成分），然后作出正确的判断。

逻辑推理问题中常用到以下三条逻辑基本规律：

（1）同一律：是指同一东西（对象）。它是什么就是什么，不能模棱两可，亦此亦彼；

（2）矛盾律：是指互相对立（矛盾）的事不能都真，二者必有一假（即同一思想不能既真又假）；

（3）排中律：是指两个不相容的判断不能都假，二者必有一真（即任何判断或同一思想不能既不真也不假）。

逻辑推理问题条件扑朔迷离，层次重叠纷纭，没有一定的定理可以依据，无现成公式可用，无模式可循，靠的是逻辑推理。可画框图、紧抓关系、细抠条件，寻找突破口，穷追到底，层层进逼，以求找到答案。

本文结合一些赛题,谈谈处理逻辑推理问题的一些主要方法。

一、利用逻辑原理,直接推理

对于一些简单的逻辑推理问题,往往只需以似真推理为主,直接通过分析就可以得出正确的结果。用这种方法解决“真假话”问题尤为有效。

住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另一个人在看书。

1.A不在修指甲，也不在看书；

2.B不躺在床上，也不在修指甲；

3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；

4.C既不在看书，也不在修指甲；

5.D不在看书，也不躺在床上。

她们各自在做什么呢？

由1、2、4、5知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的应该是D；但这与3的结论相矛盾，所以3的前提肯定不成立，即A应该是躺在床上；在4中C既不看书又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在床上，所以C是在写信；而B则是在看书。

二、利用表格辅助推理

某些逻辑推理问题中,有时会涉及很多对象,每个对象又有几种不同情况,同时还给出不同对象之间不同情况的判断,要求推出确定的结论。对于这类问题,通常可以利用表格把本来凌乱的信息集中整理出来,方便推理。

甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序，在未公布顺序之前每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戊第四，丁第五；丙猜：甲第一，戊第四；丁猜：丙第一，乙第二；戊猜：甲第三，丁第四。老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中。第一、第三、第五分别是哪位同学？

 

解：本题相互关系过于复杂，不便分析和推断，不妨由已知条件列表如下：

由于每人的出赛顺序至少被一人所猜中，所以戊第四，丁第五，丙第一，甲第三，乙第二；出赛的顺序：丙乙甲戊丁

例5. 某校举办作文比赛，A、B、C、D四位同学参加比赛，其中只有一位同学获奖。老师为了解比赛情况，分别向选手询问，回答如下：

A：我获了奖；           B：我没有获奖，C也没有获奖

C：是A获奖或B获奖 D：是B获奖

事后证实，有两人的话符合事实，哪位同学获了奖？

 

解：“某人获奖”就将此人记为“1”，否则为“0”。根据四个人的话可得下表。

由表可知，若是A获奖，则有3人说的话符合事实，只有B获奖时，有两人的话符合事实。

三、利用计算辅助推理

某些逻辑推理问题常常有几个未知量同时存在,或答案有多种可能性,解题时需要充分利用已知条件进行计算,并通过对计算结果的分析,推理得出正确的结论。

例5 　学校进行了一次考试，考试的科目是语文、历史、数学、物理和英语，每科满分为5分，其余等级依次是4、3、2、1分。今已知按总分由多到少排列着五名学生，A、B、C、D、E满足下列条件：

（1）在同一科目中以及在总分数中没有得同样分数的人；

（2）A的总分是24分；

（3）C有四门得了相同的分数；

（4）E语文得3分，物理得5分；

（5）D的历史得4分。

试求题目中未直接给出的各人其它各科的成绩？

讲解:先从五人的总分入手，再扣掉A的得分，得出B、C、D、E四人的总分，再从得分最低的E出发进行推断，即可逐步得出结果。

（1）由已知可得5人的总分为5×(1+2+3+4+5)=75分。

因A得24分，故B、C、D、E共得75－24=51分

又E两科得8分，故E（还有三科）至少得11分

稍加验算可知：B、C、D、E的得分情况应该是15、13、12、11。

（2）E两科8分，总分11分，因而E的英语、历史、数学各得1分。

（3）A的总分是24分，故只有一科得4分，其它各科均是5分，因E的物理得4分，故语文、历史、数学、英语各五分。

（4）C的总分为13分，且有四科得分相同，故得分情况只能是一科五分，四科各2分或一科1分，四科各3分。因5分为A、E所得，则C的四科各得3分，一科得1分，又因E语文得3分，故C语文得1分，其余各科得3分。

（5）D的总分是12分，历史得4分，余下8分，因全部5分为A、E所得，全部3分为C、E所得，四个1分为C、E所得，故除历史外，D的其它各科各得2分。

显然，B的语文、数学、英语皆得4分，历史2分，物理1分。

【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。试根据以下条件，判断这四人的职业。

（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班；

（2）钱比孙年龄大；

（3）赵在教李打太极拳；

（4）教师每天步行去上班；

（5）售货员的邻居不是机关干部；

（6）机关干部和工人互不相识；

（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。

 

【分析】由条件（4）和条件（1）可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和条件（7），可推知孙不是干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。

四、利用图形辅助推理

美国数学家斯蒂恩说过:“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题解法。”

A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已经赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）

A. 1        B. 2        C. 3        D. 4

 

解：用五个点分别表示A、B、C、D、E五支球队，将它们之间比赛的情况用图1表示出来。

A队已经赛过4场，由于是“单循环比赛”，这说明A与B、C、D、E四支球队各赛了1场；D队赛过1场，是与A队赛过的；B队3场，不可能与D队比赛，是与A、C、E各赛1场；C队2场，是与A、B赛的，从图中可以看出，E队已经赛了2场。