容斥问题

在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。容斥问题在信息学竞赛的问题求解中也经常出现。

 

一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）

总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

 

原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；

第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；

第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣

 

二、解题思路：

遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什么。

　　集合新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”，“互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类(有限集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。

 

三、例题分析：

 

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

 

解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

 

 

 

如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？

解：设A={数学成绩90分以上的学生}

B={语文成绩90分以上的学生}

那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？

解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}

则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}

A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）

 

例4 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-（4+5+7）+2

=54（人）

解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

 

 

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为；

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例5 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100

解得 χ=14

只喜欢看电影的人数为

36-14=22

解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12

解得：х=14

∴36-14=22

所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。