取石子游戏的策略及其应用

有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是石子或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。取石子游戏是我国民间流传已久的一种博奕，在国外亦称Nim游戏。别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的道理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

游戏Ⅰ 有若干堆任意数目的小石子{a₁，a₂，…，a_m}(m≥1)，两人轮流取石子，每人每次可以从其中任意一堆中取，每次可以取1、2、3、……或k(1≤k≤ min{a1，a2，…，a_m})颗石子，把石子取完的人为胜者。

采用符号{a1，a2，…，a_m；k}来代表游戏Ⅰ中小石子的初始状况和限制条件，一个人取一次石子实际上就是把{a1，a2，…，am；k}中某个分量ai(1≤i≤m)减小为ai′，即{a1，a2，…，ai，…，a_m；k}—→{a1，a2，…，ai′，…，a_m；k}(0≤a_i<a_i)，我们把这种取一次石子使数组发生的变换称为T变换，根据现成博奕论先驱冯·诺伊曼(VonNeumann)的“完全确定信息游戏必定存在一种确定的获胜策略”的经典理论，要么对先取者存在某种取法，即某个T变换，无论后取者如何取，先取者总有相应对策，直至最终取得胜利；要么无论先取者如何取，后取者可以找到某种T变换，保证后取者总有相应策略获胜。为了解决游戏{a1，a2，…，am；k}的对策，我们先看一个简单的例子。

例1 桌上放着一堆小石子一共100颗，两人(甲、乙)轮流取，每次可以取1至10颗，取完的人为胜者，怎样才能取胜？

分析这个问题实际上是取石子游戏的特殊情形{100；10}，我们利用倒推法：容易看出11是取胜的关键数学，因为到此时，不论对方(甲)取多少颗(大于0且小于11)，总留下大于0且小于11颗石子，这样乙方一次取完即获得胜利。同样地分析，要取到11必须取到22，33，44，55，66，77，88，99，这样我们就知道了获胜之道：

①先取1颗石子，留下99颗，然后对方取a(1≤a≤10)颗，己方取(11—a)颗，就总能掌握这种致胜的关键数，从而确保获胜。②如果对方先取，己方只需利用对方不知道其中奥秘，争取到一个致胜数，就总能依①中方法取到下一个致胜数，最后取得胜利。实际上，如果局中人均熟知获胜策略，那么开局的局势就已经完全决定了结局的输赢，例1其实是先取者必胜的局势，从这个例子的分析过程我们得到启示：可以用同余理论来探讨一般情况。

一般地，在取石子游戏{a1，a2，…，am；k中，ai≡ai′(modk+1)(i=1，2，…，m)其中0≤ai′≤k，在{a1′，a2′，…，am′；k}中有取胜策略的一方在{a1，a2，…，a_m；k}中也有取胜策略。证明 在{a1′，a2′，…，a_m′；k}中有获胜策略的一方，对于大于k的分量ai(i=1，2，…，m总能做到ai≡ai′(modk+1)，即对方取a(1≤k)，己方取k+1-a，使两人各取一次之后该分量减小k+1，也就对第i堆各取n(n≥1)次之后石子数便由ai=ai′+n(k+1)变成ai′，故在{a1′，a2′，…，a_m′；k}中有取胜策略的一方在{a1，a2，…，am；k}中也有取胜策略。

 

 

游戏Ⅱ 有若干堆任意数目的小石子{a1，a2，…，am}，两人轮流从中取石子，每人每次可以取走任意一堆中任意数目的石子，不能不取，把石子取完的人为胜者。

采用m元数组{a1，a2，…，am}(m≥1)来描述这类取石子游戏，一人取走一次石子相当于用某个T变换把其中某个分量ai(1≤i≤m)减小为ai′，即{a1，a2，…，ai，…，am}T{a₁，a₂，…，ai′，…，a_m}(0≤ai′<ai)。

有趣的是为了解决这类一般情况，我们需要用到整数的二进位制，把m元数组{a1，a2，…，a_m}中的每一个分量用二进位制数表示，ai(1≤i≤m)写在第i行，同时对齐二进位制数的位数，在列上作十进位制加法，其和写在第(m+1)行，记为{n1，n2，…，nj，…，nl}，如果所有这些和数nj(1≤j≤l)均为偶数，我们称这个m元数组为偶数组；若nj(1≤j≤l)，中有一个数为奇数，则称之为非偶数组。

例如：对于3元数组{2，3，5}；

a1    2      0  1  0

a2    3      0  1  1

a3    5      1  0  1

1    2  2

n1  n2  n3

因为其中n1=1，所以{2，3，5}是非偶数组。

同样，对于3元数组{2，3，1}：

a1    2    1  0

a2    3    1  1

a3    1    0  1

 

由于nj(j=1，2)为偶数，则{2，3，1}为偶数组。

 

偶数组与非偶数组在T变换下具有如下性质：

 

(1)偶数组经过一次T变换之后一定变为非偶数组；

 

(2)对于非偶数组，一定可以找到某一个T变换，使其变为偶数组。

 

这样我们容易判定：如果给定的m元数组是偶数组，则后取者必有获胜策略；相反，若给定m元数组为非偶数组，则先取者有方法获胜，因为给定的m元数组为偶数组，先取者无论怎样取，只能将偶数组变为非偶数组，后取者则有策略将此时的非偶数组变为偶数组，由于每次取走石子，剩下石子数目一定越来越小，而{0，0，…，0}是偶数组，所以后取者获胜，同理可证相反情况。

 

 

 

例2 有三堆石子，各堆数目分别是2、3、6，两人轮流取，取完的人为胜者，若甲先乙后，谁取胜？

 

解：

 

a1    2    0  1  0

 

a2    3    0  1  1

 

a3    6    1  1  0

 

           1  3  1

 

           n1 n2  n3

 

ni为奇数i=1，2，3，所以{2，3，6}为非偶数，我们可以判定：先取者甲获胜，依性质证明过程给出的操作方法，只需将a3=6变为1，可以验证{2，3，1}是偶数组，无论乙如只可能变成如下六种情形之一：{2，3，0}，1}，{2，1，1}，{2，0，1}，{1，3，1}，{0，3，1}，都是非偶数组，同样按原方法可以将其变2}或{1，1}，乙再取后，甲总能确保获胜。 

 

 

例3：第 12 届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛题现有5堆石子,石子数依次为3，5，7，19，50，甲乙两人轮流从任一堆中任取 （每次只能取自一堆，不能不取）,取最后一颗石子的一方获胜。甲先取，问甲有没有获胜策略（即无论 乙怎样取，甲只要不失误，都能获胜）？如果有，甲第一步应该在哪一堆里取多少？请写出你的结果： _________________________________________________。

解：由游戏Ⅱ知，得到如下推理：

19　　  010011

7　　　000111

5       　000101

3       　000011

        　 010010   (18)₁₀

50－18＝32

所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为偶数组。

 

 

最后我们看一道综合利用游戏Ⅰ、Ⅱ的例子：

例4 在3×25的棋盘上放着三颗石a、b、c(如图所示)，两人轮流将石子向右移人一次只可以移动其中一颗石子1至5后无格可走者为输家，若甲先行，乙后行，赢？

a

b

c

 

解 由25≡7(mod6)，根据游戏Ⅰ的策略{25，25，25；5}中有获胜策略的一方在{7，7，7；5}中也有获胜方法，又把石子由图中所示{3，2，6}移到{7，7，7}即相当于取石子游戏Ⅱ的{4，5，1}，由于{4，5，1}是偶数组，故先移者输.