【bzoj4926】皮皮妖的递推

题目描述

YOUSIKI学习了递推，于是他请皮皮妖给他出道题，皮皮妖说：

f(1)=1，f(i)=i-f(i-1)，求f(n)

YOUSIKI看了一眼把它秒切了，于是他要求皮皮妖加大难度，皮皮妖想了想，说：

f(1)=1，f(i)=i-f(f(i-1))，求f(n)

YOUSIKI看了两眼把它秒切了，于是他要求皮皮妖加大难度，皮皮妖想了想，说：

f(1)=1，f(i)=i-f(f(f(i-1)))，求f(n)

YOUSIKI看了三眼把它秒切了，于是他要求皮皮妖加大难度，皮皮妖想了想，说：

...

...

...

YOUSIKI看了m眼，但是没有能秒切，于是他找到你，请你帮他解决这个问题。

 

输入

一行两个正整数n,m。n<=10^18，m<=10^6

输出

一行一个整数f(n)

样例输入

4 2

样例输出

3

 

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题解

这里简化下题意：定义f_n( x )=f( f_n-1( x ) )，已知f(1)=1，且对于i>1有 f(i)=i - f_m(i-1)，求 f(n)。

 

先考虑m=1：f(i) = i-f(i-1)，打个表，发现这就是当n为偶数时除以2，n为奇数时+1除以2。

然后当m=2时：f(i)=i-f(f(i-1))，先打表，如果f(i)=k，就把k向 i 连边，那么我们就得到了一棵树，如下图：

容易发现，从第二层开始，每层的个数构成了斐波拉契数列，并且这里有个很难发现的性质，对于每个结点，它的值一定可以表示成几个斐波拉契数之和，将这些斐波拉契数在斐波拉契数列里向后移动一个，然后这些数之和就是这个结点的儿子结点的值，换句话说，把一个结点 i 贪心的从大往小拆成几个斐波拉契数，再把这些数在斐波拉契数列里向前移动一个，就得到了f(i)的答案。

例如：结点16可以拆成13+3，往前移动一位就是8+2=10，所以f(16)=10。于是m=2就解决了。

我们将上面的规律推广，得到一个类斐波拉契数列：f(i) = f(i-1)+f(i-m) ，那么将n分解为几个类斐波拉契数的和，再将这些数在这个类斐波拉契数列里向前移动一位，加起来即为答案。

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

ll n,m,x,t;
ll f[5000000],ans,a[5000000];

void fj(){
    for(int i=1;;i++)
    if(f[i]>n) {
        a[++t]=f[i-1-1];n-=f[i-1];
        break;
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    f[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=1;
    for(int i=m+1;;i++){
        f[i]=f[i-1]+f[i-m];
        if(f[i]>n){
            x=i-1; break;
        }
    } 
    a[++t]=f[x-1];
    n-=f[x];
    while(n) fj();
    for(int i=1;i<=t;i++) ans+=a[i];
    cout<<ans;
    return 0;
}