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1. 基础 1.1 第一类斯特林数 1.1.1 定义 第一类斯特林数 \({n \brack k}\)，指将 \(n\) 个数放入 \(k\) 个环中（环无区分）的方案数。 1.1.2 递推式 \[{n \brack k}=(n-1){n-1 \brack k}+{n - 1 \brack k - 阅读全文
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容斥原理 原理： \[|\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}\sum_{a_k\not=a_ {k+1}}\bigcap_{l=1}^mA_{a_i}\]这东西学过小学奥数就会了。 一些有用的结论： \[|\bigcap_{i=1}^nA_i|=|\O 阅读全文
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积性函数 定义 积性函数：\(f(x)\) 满足 \(\forall\gcd(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)\) 若没有 \(\gcd(a,b)=1\) 的性质，则为完全积性函数。 性质 性质1: \(f(x),g(x)\) 是积性函数 \(\implies\) \(f\times g\ 阅读全文
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费马小定理 \(a, p \in\mathbb{Z_+}\)， \(p\) 为质数，\(\gcd(a,p) = 1\)。 定理： \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\) 。 证明: 考虑下面两个整数集合： \[A=\{x \in \mathbb{Z_+}|1 \le x < p\} 阅读全文
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子集反演 定义 \([x]\) 表示集合 \(\{i|1 \le i \le x, i \in \mathbb{Z^*}\}\)。 设 \(S \subset [n]\)。有： \[f(S)=\sum_{T \subset S}g(T) \iff g(S)=\sum_{T \subset S}(-1 阅读全文
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前置知识 狄利克雷卷积：\(f * g = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。 积性函数，线性筛。 数论分块。 单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（积性函数） 常数函数：\(1(n)=1\)。（积性函数） 莫比乌斯函数 引理1： \(f(n)\) 阅读全文
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前置知识 二项式定理：\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)。 二项式反演 反演公式1： \[f(n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) \iff g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n 阅读全文
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原理 前置知识：积性函数，狄利克雷卷积。 杜教筛可以在亚线性的时间内算出某些函数的前缀和。 假设我们要算出函数 \(f\) 的前缀和，我们要找到函数 \(g\)，记 \(f*g =h\)。 杜教筛的前提是 \(g\) 的前缀和与 \(h\) 的前缀和都可以快速计算，我们可以快速计算 \(f\) 的前 阅读全文
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前言： double counting 即算两次，可以对比两次结果得出一些有用的结论。 例1： 求证： \[\sum_{i=0}^ni \binom{n}{i}=n \times 2 ^{n-1} \]证明： 考虑计数问题：从 \(\{1,2,3,\dots n\}\) 中选取一个元素 \(a\) 阅读全文
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拉格朗日乘数法 对于多元函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，有若 \(m\) 个约束条件形如：\(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\)。 我们要求 \(f\) 在约束条件下的极值。 首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为 \(0\) 的点即可。 对于多元和约束 阅读全文