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题意： 给定一棵 \(n\) 个节点数和 \(k\) 条路径 \((a_i, b_i)\)，求至少将多少条边染色，使得给定路径都至少有一条染色的边。 \(n \le 10^5, k \le 20\)。 思路： 好题。 显然状压 \(dp\)，\(dp[S]\) 表示至少染多少条边使得 \(S\) 中 阅读全文
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1928D - Lonely Mountain Dungeons 题意： 有 \(n\) 个种族，第 \(i\) 个种族 \(c_i\) 个生物，现在要将这些生物分成若干组，每一对不在同一组但是同一种族的生物会对这种分组的价值贡献 \(b\)，如果分了 \(k\) 组，则价值要减去 \((k-1)x 阅读全文
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Platinum 啥也不会。官方题解写的很好。 T1 题解没看懂。不会仙人掌不会生成函数。 T2 题意： 有一行 \(n\) 个石子，大小为 \(s_1,\cdots,s_n\)，每次等概率挑选一对相邻的石子 \(a\) 和 \(b\) 合并，新编号等于大小更大的石子的编号（如果大小相等就是更大的编 阅读全文
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费马小定理 \(a, p \in\mathbb{Z_+}\)， \(p\) 为质数，\(\gcd(a,p) = 1\)。 定理： \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\) 。 证明: 考虑下面两个整数集合： \[A=\{x \in \mathbb{Z_+}|1 \le x < p\} 阅读全文
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子集反演 定义 \([x]\) 表示集合 \(\{i|1 \le i \le x, i \in \mathbb{Z^*}\}\)。 设 \(S \subset [n]\)。有： \[f(S)=\sum_{T \subset S}g(T) \iff g(S)=\sum_{T \subset S}(-1 阅读全文
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前置知识 狄利克雷卷积：\(f * g = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。 积性函数，线性筛。 数论分块。 单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（积性函数） 常数函数：\(1(n)=1\)。（积性函数） 莫比乌斯函数 引理1： \(f(n)\) 阅读全文
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前置知识 二项式定理：\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)。 二项式反演 反演公式1： \[f(n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) \iff g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n 阅读全文
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原理 前置知识：积性函数，狄利克雷卷积。 杜教筛可以在亚线性的时间内算出某些函数的前缀和。 假设我们要算出函数 \(f\) 的前缀和，我们要找到函数 \(g\)，记 \(f*g =h\)。 杜教筛的前提是 \(g\) 的前缀和与 \(h\) 的前缀和都可以快速计算，我们可以快速计算 \(f\) 的前 阅读全文
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前言： double counting 即算两次，可以对比两次结果得出一些有用的结论。 例1： 求证： \[\sum_{i=0}^ni \binom{n}{i}=n \times 2 ^{n-1} \]证明： 考虑计数问题：从 \(\{1,2,3,\dots n\}\) 中选取一个元素 \(a\) 阅读全文
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拉格朗日乘数法 对于多元函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，有若 \(m\) 个约束条件形如：\(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\)。 我们要求 \(f\) 在约束条件下的极值。 首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为 \(0\) 的点即可。 对于多元和约束 阅读全文