01 2024 档案

摘要：费马小定理

a, p \in Z_{+}

$a, p \in\mathbb{Z_+}$ ，

p

$p$ 为质数，

gcd (a, p) = 1

$\gcd(a,p) = 1$ 。定理：

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ 。证明: 考虑下面两个整数集合： \[A=\{x \in \mathbb{Z_+}|1 \le x < p\} 阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:43 rlc202204 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

子集反演学习笔记

摘要：子集反演定义

[x]

$[x]$ 表示集合

{i | 1 \leq i \leq x, i \in Z^{*}}

$\{i|1 \le i \le x, i \in \mathbb{Z^*}\}$ 。设

S \subset [n]

$S \subset [n]$ 。有： \[f(S)=\sum_{T \subset S}g(T) \iff g(S)=\sum_{T \subset S}(-1 阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:42 rlc202204 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演学习笔记

摘要：前置知识狄利克雷卷积：

f * g = \sum_{d | n} f (d) g (\frac{n}{d})

$f * g = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 。积性函数，线性筛。数论分块。单位函数：

ε (n) = [n = 1]

$\varepsilon(n)=[n=1]$ 。（积性函数）常数函数：

1 (n) = 1

$1(n)=1$ 。（积性函数）莫比乌斯函数引理1：

f (n)

$f(n)$ 阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:42 rlc202204 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演学习笔记

摘要：前置知识二项式定理：

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$ 。二项式反演反演公式1： \[f(n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) \iff g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n 阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:42 rlc202204 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛学习笔记

摘要：原理前置知识：积性函数，狄利克雷卷积。杜教筛可以在亚线性的时间内算出某些函数的前缀和。假设我们要算出函数

f

$f$ 的前缀和，我们要找到函数

g

$g$ ，记

f * g = h

$f*g =h$ 。杜教筛的前提是

g

$g$ 的前缀和与

h

$h$ 的前缀和都可以快速计算，我们可以快速计算

f

$f$ 的前阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:41 rlc202204 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

double counting 小记

摘要：前言： double counting 即算两次，可以对比两次结果得出一些有用的结论。例1：求证：

\sum_{i = 0}^{n} i (\binom{n}{i}) = n \times 2^{n - 1}

$\sum_{i=0}^ni \binom{n}{i}=n \times 2 ^{n-1}$ 证明：考虑计数问题：从

{1, 2, 3, \dots n}

$\{1,2,3,\dots n\}$ 中选取一个元素

a

$a$ 阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:41 rlc202204 阅读(121) 评论(0) 推荐(0) 编辑

微积分相关

摘要：拉格朗日乘数法对于多元函数

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ ，有若

m

$m$ 个约束条件形如：

g_{i} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0

$g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$ 。我们要求

f

$f$ 在约束条件下的极值。首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为

0

$0$ 的点即可。对于多元和约束阅读全文

posted @ 2024-01-20 13:41 rlc202204 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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