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1. 基础知识 推荐 3b1b 《线性代数的本质》 1.1.向量 向量的英文叫 vector，就是那个超级好用的 STL 的容器的名字来源。向量可以表示一组元素，如：向量 \(\vec{A}=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)。 其中向量 \(\vec{A}=(a_1,a_2,a_3,. 阅读全文
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内容 对于一个质数 $p$，有： $$ \LARGE C_n^m \equiv C_{[\frac{n}{p}]}^{[\frac{m}{p}]}·C_{n \bmod p}^{m \bmod p} \pmod p $$ 证明 引理：$(1+x)^p \equiv (1+x^p) \pmod p$ 阅读全文
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定义 组合数通常写作 $C_n^m$， 表示从 $n$ 个数中选 $m$ 个数的方法数。 怎么算 1.杨辉三角 这个东西是一个递推式，如下： $$ C_n^m = C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m $$ 这样我们可以去递推或者递归去求一个组合数，时间复杂度是 $O(nm)$。 这个东西 阅读全文
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定理 当且仅当 \(p\) 是质数时， \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\) 。 证明 首先对于 \(p < 5\) 时，直接证即可。 对于 \(p \ge 5\) ，分成以下几种情况： \(p\) 为合数但不为质数的平方。 则 \(p\) 可以表示成 \(a\times b\) 阅读全文
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中国剩余定理 作用 中国剩余定理 （Chinese Remainder Theorem, CRT），也称孙子定理，是用来求解线性同余方程组，即如下面的方程组： \[\begin{cases} x \equiv &a_1\ ({\rm mod}\ p_1) \\ x \equiv &a_2\ ({\r 阅读全文
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离散对数定义 求 $k$ 使得 $a^k \equiv n \pmod p$ ，称 $n$ 在模 $p$ 意义下以 $a$ 为底的对数是 $k$ 。 如何求离散对数 BSGS（Baby Step,Giant Step）大步小步算法可以求离散对数，它的思想是分块思想。 首先要满足 $a \perp p 阅读全文
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定义 含有两个未知数，且未知数项的次数都是 $1$ 的不定方程就是二元一次不定方程，一般可以化成下面的形式： $$ax+by=c$$ 前置知识 裴蜀定理 定理：对于一个二元一次不定方程，当 $\gcd(a,b)|c$ 存在整数解。 证明：设 $c = k \times \gcd(a,b)$ ，只需证 阅读全文
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定义 当 $a,b$ 满足 $ab \equiv 1\pmod p$ ，$a,b$ 互为 $\pmod p$ 的乘法逆元，也记作 $a^{-1}$ 和 $b^{-1}$ 。 前置知识 1.费马小定理 若 $p$ 为质数且 $\gcd(a,p) = 1$ ，则 $a, p$ 满足 $a^{p-1}\e 阅读全文
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初赛 J组不难，84.5。 S组也还好，78.5。 复赛 CSP-J 开考先看第一题，直接快速幂，大概 10 分钟就切掉了。 第二题先在草稿纸上推式子，然后发现其实就是解一个二元二次方程，直接套公式，貌似也没有那么难，大样例都过了，这时大概总共过去了30分钟。 第三题一看竟然是原题，结果我忘了，之后 阅读全文