2022 年 12月随笔档案 - rlc202204

摘要：基本概念树定义：树是一个连通且无环的简单无向图。一个

n

$n$ 树有以下三个特点：联通。无环。

n - 1

$n-1$ 条边。上面任意两个条件满足都可以得出这个图是一个树。由此我们还可以得到这个结论：树中任意两个点有且只有一条简单路径。生成树生成树指的是在一个无向连通图中包含所有图中节点，并且阅读全文

posted @ 2022-12-28 09:38 rlc202204 阅读(104) 评论(0) 推荐(0) 编辑

ST表学习笔记

摘要：RMQ问题 RMQ（Range Minimum/Maximum Query）问题是指多次查询某个范围内的最大最小值（或极值），比如对一个序列多次查询区间的最大最小值。设范围内共有

n

$n$ 个元素，查询

m

$m$ 次。朴素算法：遍历所有范围内的元素，再取最大或最小，则单次查询时间复杂度最坏为 $ 阅读全文

posted @ 2022-12-28 09:35 rlc202204 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCA 学习笔记

摘要：概念 LCA LCA (Lowest Common Ancestor)，即最近公共祖先，指的是一棵树中任意两个节点深度最大的共同祖先。有啥用树有一个性质，两点之间有且只有一条简单路径，如果我们把 1 号节点作为根，则任意两点

x, y

$x,y$ 的简单路径就是

x

$x$ 到

l c a (x, y)

$lca(x,y)$ 再到 $ 阅读全文

posted @ 2022-12-28 09:34 rlc202204 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分治学习笔记

摘要：算法思想分治的主要思想就是分而治之，即把一个大问题分成若干个小问题，先去解决这些小问题，再去解决大问题。分治是一个思想，我们通过一些实际应用来感受一下。归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，最好和最坏时间复杂度均为

O (n \log n)

$O(n \log n)$ ，是一种极其优秀的排序算法，它的原理如下：假设我们阅读全文

posted @ 2022-12-28 09:33 rlc202204 阅读(61) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性代数学习笔记

摘要：1. 基础知识推荐 3b1b 《线性代数的本质》 1.1.向量向量的英文叫 vector，就是那个超级好用的 STL 的容器的名字来源。向量可以表示一组元素，如：向量

\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n})

$\vec{A}=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ 。其中向量 \(\vec{A}=(a_1,a_2,a_3,. 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:23 rlc202204 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

卢卡斯定理学习笔记

摘要：内容对于一个质数

p

$p$ ，有：

C_{n}^{m} \equiv C_{[\frac{n}{p}]}^{[\frac{m}{p}]} \cdot C_{n mod p}^{m mod p} (\mod p)

$\LARGE C_n^m \equiv C_{[\frac{n}{p}]}^{[\frac{m}{p}]}·C_{n \bmod p}^{m \bmod p} \pmod p$ 证明引理：

(1 + x)^{p} \equiv (1 + x^{p}) (\mod p)

$(1+x)^p \equiv (1+x^p) \pmod p$ 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:21 rlc202204 阅读(71) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学习笔记

摘要：定义组合数通常写作

C_{n}^{m}

$C_n^m$ ，表示从

n

$n$ 个数中选

m

$m$ 个数的方法数。怎么算 1.杨辉三角这个东西是一个递推式，如下：

C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$ 这样我们可以去递推或者递归去求一个组合数，时间复杂度是

O (n m)

$O(nm)$ 。这个东西阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:20 rlc202204 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

威尔逊定理学习笔记

摘要：定理当且仅当

p

$p$ 是质数时，

(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)

$(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ 。证明首先对于

p < 5

$p < 5$ 时，直接证即可。对于

p \geq 5

$p \ge 5$ ，分成以下几种情况：

p

$p$ 为合数但不为质数的平方。则

p

$p$ 可以表示成

a \times b

$a\times b$ 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:20 rlc202204 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理学习笔记

摘要：中国剩余定理作用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT），也称孙子定理，是用来求解线性同余方程组，即如下面的方程组： \[\begin{cases} x \equiv &a_1\ ({\rm mod}\ p_1) \\ x \equiv &a_2\ ({\r 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:19 rlc202204 阅读(88) 评论(0) 推荐(0) 编辑

离散对数&BSGS学习笔记

摘要：离散对数定义求

k

$k$ 使得

a^{k} \equiv n (\mod p)

$a^k \equiv n \pmod p$ ，称

n

$n$ 在模

p

$p$ 意义下以

a

$a$ 为底的对数是

k

$k$ 。如何求离散对数 BSGS（Baby Step,Giant Step）大步小步算法可以求离散对数，它的思想是分块思想。首先要满足 $a \perp p 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:16 rlc202204 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二元一次不定方程学习笔记

摘要：定义含有两个未知数，且未知数项的次数都是

1

$1$ 的不定方程就是二元一次不定方程，一般可以化成下面的形式：

a x + b y = c

$ax+by=c$ 前置知识裴蜀定理定理：对于一个二元一次不定方程，当

gcd (a, b) | c

$\gcd(a,b)|c$ 存在整数解。证明：设

c = k \times gcd (a, b)

$c = k \times \gcd(a,b)$ ，只需证阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:16 rlc202204 阅读(249) 评论(0) 推荐(0) 编辑

乘法逆元学习笔记

摘要：定义当

a, b

$a,b$ 满足

a b \equiv 1 (\mod p)

$ab \equiv 1\pmod p$ ，

a, b

$a,b$ 互为

(\mod p)

$\pmod p$ 的乘法逆元，也记作

a^{- 1}

$a^{-1}$ 和

b^{- 1}

$b^{-1}$ 。前置知识 1.费马小定理若

p

$p$ 为质数且

gcd (a, p) = 1

$\gcd(a,p) = 1$ ，则

a, p

$a, p$ 满足 $a^{p-1}\e 阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:15 rlc202204 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CSP-J/S2022 游记

摘要：初赛 J组不难，84.5。 S组也还好，78.5。复赛 CSP-J 开考先看第一题，直接快速幂，大概 10 分钟就切掉了。第二题先在草稿纸上推式子，然后发现其实就是解一个二元二次方程，直接套公式，貌似也没有那么难，大样例都过了，这时大概总共过去了30分钟。第三题一看竟然是原题，结果我忘了，之后阅读全文

posted @ 2022-12-04 10:12 rlc202204 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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