构造做题笔记

UOJ460 新年的拯救计划

$n$ 点完全图。选出尽量多生成树。输出方案。 $n\le1000$。

考虑上界，总共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边，也就是最多可以分成 $\frac{n}{2}$ 棵树。

尝试证明这个上界可以达到。我们考虑归纳法，假设 $n = 2k$ 可行。

考虑 $2k + 1$，我们可以将每棵生成树选一个不同的点连向 $2k + 1$，考虑到只有 $k$ 棵，显然是够的。

考虑 $2k + 2$，由 $1 \sim k$ 连向 $2k + 1$，$k + 1 \sim 2k$ 连向 $2k + 2$，然后再加一棵生成树，由 $1 \sim k$ 连向 $2k + 2$ 和 $k + 1 \sim 2k$ 连向 $2k + 1$，同时连 $2k + 1$ 和 $2k + 2$。

这是一个构造的方法。这题就完了。

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CF1558C Bottom-Tier Reversals

首先观察性质：位置的奇偶性不会改变，所以如果一开始奇偶性就错了肯定不行。

接着我们需要确定一个大体思路，如何做排序？由于是对前缀操作，我们考虑倒着往前一步步还原。

所以我们现在先考虑如何把最后两个变成 $n - 1, n$，观察最终的长度约束，如果我们能在 5 步内完成，那么这个问题就解决了。

第一步：找到 $n$，使其变成第一个。

第二步：找到 $n-1$，使 $n$ 变成 $n-1$ 前面的元素。

第三步：翻转使得 $n-1$ 第二个，$n$ 第三个。

第四步：翻转使得 $n$ 第一个，$n-1$ 第二个。

第五步：翻转使得 $n$ 最后，$n-1$ 倒数第二。

然后就顺利解决了这道题。

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P6892 [ICPC2014 WF] Baggage

神仙构造。

首先看到这种题肯定是要手玩小数据并且猜下界，根据样例不难猜出下界是 $n$。

证明下界分两步，首先是证明不存在更小的，其次是构造一个。

我们先考虑证明不存在更小的，观察题目的性质发现，如果我们记相邻两个位置相同的个数为 $\phi$，则我们从 $0 \to 2n-1$，由于每次最多新增两个且第一次最多新增一个，所以至少 $n$ 次。

根据这个，我们可以手玩出 $n = 4$ 的情况：

$$..BABABABA\\ ABBABAB..A\\ ABBA..BBAA\\ A..ABBBBAA\\ AAAABBBB..\\ $$

进一步，我们尝试去归纳 $n$ 更大的情况，我们发现可以这样做：

$$..BABA [(n-4) \times BA] BABA\\ ABBABA [(n-4) \times BA] B..A\\ ABBA.. [(n-4) \times BA] BBAA\\ ABBA[(n-4) \times A + (n-4)\times B]..BBAA\\ A..A[(n-4) \times A + (n-4)\times B]BBBBAA\\ AAAA[(n-4) \times A + (n-4)\times B]BBBB..\\ $$

刚好 $n$ 次，但是这里要求存在使得只往前移两位的方法，所以 $n-4 \ge 4$，意味着我们需要自己手玩 $n = 3,4,5,6,7$ 的情况。

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毛虫树

一棵毛虫树（有一条链，所有点到这条链的距离不超过 $1$），编号 $1 \sim n$，使得每条边 的权值为 $1\sim n-1$，边权 $=$ 两端点标号的差的绝对值。

考虑递归，我们每次取最右边的点变成 $n$，然后将其周围的点赋 $1,2,3,\dots, k$，然后下一个点变成 $n - k$，周围的点赋值成 $n-1, n-2, \dots$，这样就可以递归地解决这个问题了。

[AGC041C] Domino Quality

很神啊。

由于是每行每列都有要求，这种时候我们可以尝试对角线！！！

如果我们能解决 $k$ 大小的问题，并且 $[k + 1, 2k)$ 都有一样的解，我们沿着对角线分即可。

这里试一下发现 $k = 4$ 时是可以的，于是就做完了！

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P9820 [ICPC2020 Shanghai R] Mine Sweeper II

不理解这题普及-是谁给的。鸽笼原理。

首先遇到这种 $\frac{m}{n}$ 的分数的时候可以考虑：有 $n$ 种可能的方案，且操作次数总和为 $m$。

于是我们考虑构造两种方案使得涉及格子的总数为 $nm$，这就不难想到将 $A$ 的所有格子取反作为一种方案，我们可以证明数字和与 $A$ 是相同的，通过任意两个格子之间的关系得出。

然后就没了，但这题绝对不止普及-。

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CF1450C2 Errich-Tac-Toe (Hard Version)

和上题类似，我们需要找到三个方案。

考虑如何使平局，启示我们可以运用模 3 的余数分类。

所以我们可以让每次选定两个个余数，使第一个余数没有 O，第二个没有 X 即可。

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2/3区间覆盖

区间 $[0,1]$ 上给定了一些区间，这些区间的并覆盖了 $[0,1]$。

选出若干个区间，使得 $[0,1]$ 区间上恰被 $1$ 个区间覆盖的地方 的长度 $\ge \frac{2}{3}$。

我们考虑去掉能去掉的所有区间，使得最后的并保持不变，这样按照左端点排序等于右端点排序，且没有一个部分覆盖超过两次。

然后我们取所有区间，奇数区间，偶数区间，不难发现至少覆盖的是 $2$，根据鸽笼，我们解决了这道题。

Fixing Networks Gym - 103119F

这种题目我们首先需要想一些必要条件，然后尝试证明其也是充分的。

我们发现一个必要条件：$c(d + 1) \le n$，其实这也是充分的。

我们考虑归纳，如果 $c > 1$，我们只用将 $d + 1$ 个点连成完全图即可。

如果 $c = 1$，我们可以连成一个环，然后在环上再连边即可。

CF1163E Magical Permutation

好题。被我切了。

我们考虑性质，我们发现由于原数组互不相同，也就是差分数组的前缀和互不相同，这意味这我们需要用给定集合的一个子集表示所有的数。所以我们大胆猜结论：如果线性基中前 $k$ 位都不为空 $2^{k+1} - 1$ 就是可行的，并且所用到的数不能大于等于 $2^{k+1}$。

必要性显然，现在我们尝试构造一组解，我们考虑递归的思路，我们先把左边构造一种 $[0, 2^{k})$ 的，然后翻转变成右边，但是右边的所有数需要异或上 $k$ 的线性基的那个数，这样保证中间的差刚好再 $S$ 中。

然后就完了，代码很短。

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CF1438D Powerful Ksenia

这题诈骗啊。

显然操作不会改变异或和，然后分奇偶性讨论。奇数直接把第一个数每两个数每两个数异或上所有的，然后再重复一遍即可，偶数不为 $0$ 显然不行，否则忽略最后一个，按照奇数的来就行了。

好唐啊。

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AT_jsc2019_qual_d Classified

先手玩样例盲猜答案是最高的二进制位。

然后我们考虑到题目要求等价于都是二分图，容易想到把点分成一半互相连边，然后内部递归即可，折原可以构造出解。

可以直接暴力算，不过题解给的构造更巧妙，直接连最低为数码不同的位置即可。

CF1515F Phoenix and Earthquake