构造做题笔记
UOJ460 新年的拯救计划
\(n\) 点完全图。选出尽量多生成树。输出方案。 \(n\le1000\)。
考虑上界，总共有 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 条边，也就是最多可以分成 \(\frac{n}{2}\) 棵树。
尝试证明这个上界可以达到。我们考虑归纳法，假设 \(n = 2k\) 可行。
考虑 \(2k + 1\)，我们可以将每棵生成树选一个不同的点连向 \(2k + 1\)，考虑到只有 \(k\) 棵，显然是够的。
考虑 \(2k + 2\)，由 \(1 \sim k\) 连向 \(2k + 1\)，\(k + 1 \sim 2k\) 连向 \(2k + 2\)，然后再加一棵生成树，由 \(1 \sim k\) 连向 \(2k + 2\) 和 \(k + 1 \sim 2k\) 连向 \(2k + 1\)，同时连 \(2k + 1\) 和 \(2k + 2\)。
这是一个构造的方法。这题就完了。
CF1558C Bottom-Tier Reversals
首先观察性质：位置的奇偶性不会改变，所以如果一开始奇偶性就错了肯定不行。
接着我们需要确定一个大体思路，如何做排序？由于是对前缀操作，我们考虑倒着往前一步步还原。
所以我们现在先考虑如何把最后两个变成 \(n - 1, n\)，观察最终的长度约束，如果我们能在 5 步内完成，那么这个问题就解决了。
第一步：找到 \(n\)，使其变成第一个。
第二步：找到 \(n-1\)，使 \(n\) 变成 \(n-1\) 前面的元素。
第三步：翻转使得 \(n-1\) 第二个，\(n\) 第三个。
第四步：翻转使得 \(n\) 第一个，\(n-1\) 第二个。
第五步：翻转使得 \(n\) 最后，\(n-1\) 倒数第二。
然后就顺利解决了这道题。
P6892 [ICPC2014 WF] Baggage
神仙构造。
首先看到这种题肯定是要手玩小数据并且猜下界，根据样例不难猜出下界是 \(n\)。
证明下界分两步，首先是证明不存在更小的，其次是构造一个。
我们先考虑证明不存在更小的，观察题目的性质发现，如果我们记相邻两个位置相同的个数为 \(\phi\)，则我们从 \(0 \to 2n-1\)，由于每次最多新增两个且第一次最多新增一个，所以至少 \(n\) 次。
根据这个，我们可以手玩出 \(n = 4\) 的情况：
进一步，我们尝试去归纳 \(n\) 更大的情况，我们发现可以这样做：
刚好 \(n\) 次，但是这里要求存在使得只往前移两位的方法，所以 \(n-4 \ge 4\)，意味着我们需要自己手玩 \(n = 3,4,5,6,7\) 的情况。
毛虫树
一棵毛虫树（有一条链，所有点到这条链的距离不超过 \(1\)），编号 \(1 \sim n\)，使得每条边 的权值为 \(1\sim n-1\)，边权 \(=\) 两端点标号的差的绝对值。
考虑递归，我们每次取最右边的点变成 \(n\)，然后将其周围的点赋 \(1,2,3,\dots, k\)，然后下一个点变成 \(n - k\)，周围的点赋值成 \(n-1, n-2, \dots\)，这样就可以递归地解决这个问题了。
[AGC041C] Domino Quality
很神啊。
由于是每行每列都有要求，这种时候我们可以尝试对角线！！！
如果我们能解决 \(k\) 大小的问题，并且 \([k + 1, 2k)\) 都有一样的解，我们沿着对角线分即可。
这里试一下发现 \(k = 4\) 时是可以的，于是就做完了！
P9820 [ICPC2020 Shanghai R] Mine Sweeper II
不理解这题普及-是谁给的。鸽笼原理。
首先遇到这种 \(\frac{m}{n}\) 的分数的时候可以考虑：有 \(n\) 种可能的方案，且操作次数总和为 \(m\)。
于是我们考虑构造两种方案使得涉及格子的总数为 \(nm\)，这就不难想到将 \(A\) 的所有格子取反作为一种方案，我们可以证明数字和与 \(A\) 是相同的，通过任意两个格子之间的关系得出。
然后就没了，但这题绝对不止普及-。
CF1450C2 Errich-Tac-Toe (Hard Version)
和上题类似，我们需要找到三个方案。
考虑如何使平局，启示我们可以运用模 3 的余数分类。
所以我们可以让每次选定两个个余数，使第一个余数没有 O，第二个没有 X 即可。
2/3区间覆盖
区间 \([0,1]\) 上给定了一些区间，这些区间的并覆盖了 \([0,1]\)。
选出若干个区间，使得 \([0,1]\) 区间上恰被 \(1\) 个区间覆盖的地方 的长度 \(\ge \frac{2}{3}\)。
我们考虑去掉能去掉的所有区间，使得最后的并保持不变，这样按照左端点排序等于右端点排序，且没有一个部分覆盖超过两次。
然后我们取所有区间，奇数区间，偶数区间，不难发现至少覆盖的是 \(2\)，根据鸽笼，我们解决了这道题。
Fixing Networks Gym - 103119F
这种题目我们首先需要想一些必要条件，然后尝试证明其也是充分的。
我们发现一个必要条件：\(c(d + 1) \le n\)，其实这也是充分的。
我们考虑归纳，如果 \(c > 1\)，我们只用将 \(d + 1\) 个点连成完全图即可。
如果 \(c = 1\)，我们可以连成一个环，然后在环上再连边即可。
CF1163E Magical Permutation
好题。被我切了。
我们考虑性质，我们发现由于原数组互不相同，也就是差分数组的前缀和互不相同，这意味这我们需要用给定集合的一个子集表示所有的数。所以我们大胆猜结论：如果线性基中前 \(k\) 位都不为空 \(2^{k+1} - 1\) 就是可行的，并且所用到的数不能大于等于 \(2^{k+1}\)。
必要性显然，现在我们尝试构造一组解，我们考虑递归的思路，我们先把左边构造一种 \([0, 2^{k})\) 的，然后翻转变成右边，但是右边的所有数需要异或上 \(k\) 的线性基的那个数，这样保证中间的差刚好再 \(S\) 中。
然后就完了，代码很短。
CF1438D Powerful Ksenia
这题诈骗啊。
显然操作不会改变异或和，然后分奇偶性讨论。奇数直接把第一个数每两个数每两个数异或上所有的，然后再重复一遍即可，偶数不为 \(0\) 显然不行，否则忽略最后一个，按照奇数的来就行了。
好唐啊。
AT_jsc2019_qual_d Classified
先手玩样例盲猜答案是最高的二进制位。
然后我们考虑到题目要求等价于都是二分图，容易想到把点分成一半互相连边，然后内部递归即可，折原可以构造出解。
可以直接暴力算，不过题解给的构造更巧妙，直接连最低为数码不同的位置即可。
