无题号 分配问题 题解

题意：

有 \(m\) 个物品，全部分给 \(n\) 个人，\(a_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个人能否分到第 \(j\) 物品。求一个分配方案，设 \(h_i\) 表示第 \(i\) 个人得到的物品数量。求 \(\sum_{i,j}|h_i - h_j|\) 最小值。

思路：

设 \(f(h) = \sum_{i,j}|h_i - h_j|, g(h) = \sum_i(m+1)^{h_i}\)，则我们可以证明 \(f(h)\) 最小 \(\iff\) \(g(h)\) 最小。

证明可以考虑一次交换操作，将 \(h_i--, h_j++\) 满足 \(h_i > h_j + 1\)。

对于这个问题可以用增量法连边用费用流即可。