CF708D Incorrect Flow 题解

题意:

给定一张 n 个点 m 条边的网络,源点为 1,汇点为 n。对于每条边,有容量 c,当前流量 f

但这个图是错误的,可能存在 c<f,或者流量不守恒的情况。你每次操作可以将某条边的 cf1 或减 1。请你用最少的操作次数将图变成一个正确的网络。

n,m100c,f1061 没有入边,n 没有出边。

思路:

被我秒了的黑题,自信心爆棚。

先只考虑只要求流量守恒的情况,发现这就是一个类似于上下界网络流的东西,我们对于 (u,v,f),建 (v,u,f,1)(u,v,f,1),分别代表减少这条边的流量和增加这条边的流量。

于是我们就可以类似的扩展到容量上了。我们把 cfc<f 分开讨论。

不难发现能不改变容量就尽量不要改变容量,我们依据这个来做。

如果 cf,连 (v,u,f,1) 表示可以减少到 0f(u,v,cf,1) 表示可以在不改变容量的情况下增加到 c,以及 (u,v,,2) 表示如果还要增加就要两个都增加了。

如果 c<f,则我们考虑如果最后 fc 还要小,那肯定有 c 不变,而如果 fc 还要大,那也一定有 f=c,否则一定也有 f=c

不难发先最后一种情况下花费一定是 fc,而剩下的两个情况是在这个情况的基础上增加或减少,所以我们先给答案加上 fc,然后连 (v,u,fc,0) 表示这个范围内可以变化,然后 (v,u,c,1) 表示再减少就要再花钱,(u,v,,2) 表示增加就要两个都增加。

以上都是基于对于原有的边流量一定是 c,这是一个有下界的问题。

所以我们按照上下界有源汇网络流的做法建立超级源超级汇,同时连 (n,1,,0)

很有意思。

点击查看代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
	int to, val, cst, rev;
	Edge (int _to = 0, int _val = 0, int _cst = 0, int _rev = 0) :
		to(_to), val(_val), cst(_cst), rev(_rev) {}
};
vector<Edge> e[N];
void add(int u, int v, int w, int c) {
	e[u].push_back(Edge(v, w, c, (int)e[v].size()));
	e[v].push_back(Edge(u, 0, -c, (int)e[u].size() - 1));
}

int d[N] = {0};
bool inq[N] = {false};
bool bfs(int s, int t) {
	memset(d, inf, sizeof d);
	queue<int> q;
	q.push(s), d[s] = 0;
	while (!q.empty()) {
		int h = q.front();
		q.pop();
		inq[h] = false;
		for (auto i: e[h])
			if (i.val > 0 && d[i.to] > d[h] + i.cst) {
				d[i.to] = d[h] + i.cst;
				if (!inq[i.to])
					inq[i.to] = true, q.push(i.to);
			}
	}
	return d[t] != inf;
}

int cur[N] = {0};
bool vis[N] = {false};
int dfs(int x, int t, int f) {
	if (x == t)
		return f;
	int fl = 0;
	vis[x] = true;
	for (int i = cur[x]; i < (int)e[x].size(); i = ++cur[x])
		if (e[x][i].val > 0 && !vis[e[x][i].to] && d[e[x][i].to] == d[x] + e[x][i].cst) {
			fl = dfs(e[x][i].to, t, min(f, e[x][i].val));
			if (fl > 0) {
				e[x][i].val -= fl;
				e[e[x][i].to][e[x][i].rev].val += fl;
				break;
			}
		}
	if (fl == 0)
		d[x] = -1;
	vis[x] = false;
	return fl;
}

int Dinic(int s, int t) {
	int ans = 0;
	while (bfs(s, t)) {
		memset(cur, 0, sizeof cur);
		int ad = 0;
		while ((ad = dfs(s, t, inf)) > 0)
			ans += ad * d[t];
	}
	return ans;
}

int n, m;

int s[N] = {0};

int main() {
	cin >> n >> m;
	int ans = 0;
	for (int i = 1, u, v, f, c; i <= m; i++) {
		cin >> u >> v >> c >> f;
		s[u] += f, s[v] -= f;
		if (c >= f) {
			add(v, u, f, 1);//流回来
			add(u, v, c - f, 1);//流过去,不改变 c
			add(u, v, inf, 2);//流过去,改变 c 
		}
		else {
			ans += f - c;//至少这么多代价 
			add(v, u, f - c, 0);//在可接受范围内 [c, f]
			add(v, u, c, 1);//需要降低流量
			add(u, v, inf, 2);//需要同时增加流量和容量 
		}
	}
	int S = 0, T = n + 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (s[i] > 0)
			add(i, T, s[i], 0);
		else
			add(S, i, -s[i], 0);
	add(n, 1, inf, 0);
	cout << ans + Dinic(S, T) << endl;
	return 0;
} 
posted @   rlc202204  阅读(9)  评论(0编辑  收藏  举报
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