欧拉定理学习笔记

费马小定理

$a, p \in\mathbb{Z_+}$， $p$ 为质数，$\gcd(a,p) = 1$。

定理： $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ 。

证明:

考虑下面两个整数集合：

$$A=\{x \in \mathbb{Z_+}|1 \le x < p\}$$

$$B=\{y \in \mathbb{Z_+}|y=ax,x \in A\}$$

$A$ 中很明显每个数对 $p$ 取余各不相同，且为 $1$ 到 $p-1$ 。

假设 $B$ 中存在两个数 $y_0=ax_0, y_1=ax_1$ 满足:

$$y_0 \equiv y_1 \pmod p$$

则会有：

$$ax_0 \equiv ax_1 \pmod p$$

$\because \gcd(a,p)=1$，所以我们有：

$$x_0 \equiv x_1 \pmod p$$

但根据定义可知，$x_0,x_1 \in A$，而 $A$ 中不存在两个数对 $p$ 取余相同。矛盾！

故假设不成立，$B$ 中任意两个数对 $p$ 取余不相同。

又 $\because \gcd(a,p)=1$ 且 $\forall x \in A,\gcd(x,p)=1$。

$\therefore$ $B$ 中不存在 $y$ 使得 $y \equiv 0 \pmod p$。

不难发现，在模 $p$ 意义下 $A$ 与 $B$ 其实是等价的。

现在把 $A$ 中的数和 $B$ 中的数各自相乘，得到：

$$(p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)! \pmod p$$

$\because$ $(p-1)!$ 与 $p$ 互质。$\therefore$ 可以把两边同时除以 $(p-1)!$ 得到：

$$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$$

得证。

欧拉定理

$a, p \in\mathbb{Z_+}$， $\gcd(a,p) = 1$。

定理： $a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod p$ 。

证明：

考虑下面两个整数集合：

$$A=\{x \in \mathbb{Z_+}|\gcd(a,p)=1,1 \le x < p\}$$

$$B=\{y \in \mathbb{Z_+}|y=ax,x \in A\}$$

根据欧拉函数的定义可知，$|A|=|B|=\varphi(p)$。

$A$ 中很明显每个数对 $p$ 取余各不相同。

假设 $B$ 中存在两个数 $y_0=ax_0, y_1=ax_1$ 满足:

$$y_0 \equiv y_1 \pmod p$$

则会有：

$$ax_0 \equiv ax_1 \pmod p$$

$\because \gcd(a,p)=1$，所以我们有：

$$x_0 \equiv x_1 \pmod p$$

但根据定义可知，$x_0,x_1 \in A$，而 $A$ 中不存在两个数对 $p$ 取余相同。矛盾！

故假设不成立，$B$ 中任意两个数对 $p$ 取余不相同。

又 $\because \gcd(a,p)=1$ 且 $\forall x \in A,\gcd(x,p)=1$。

$\therefore$ $B$ 中不存在 $y$ 使得 $y \equiv 0 \pmod p$。

不难发现，在模 $p$ 意义下 $A$ 与 $B$ 其实是等价的。

现在把 $A$ 中的数和 $B$ 中的数各自相乘，得到：

$$\prod_{x\in A}x\equiv a^{\varphi(p)}\prod_{x \in A} \pmod p$$

$\because$ $\prod_{x\in A}x$ 与 $p$ 互质。$\therefore$ 可以把两边同时除以 $\prod_{x\in A}x$ 得到：

$$a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p$$

得证。

扩展欧拉定理

根据欧拉定理，如果 $\gcd(a,m)=1$，则 $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)} \pmod m$。

而扩展欧拉定理则说，如果 $\gcd(a,m) \not = 1$ 时，有：

$$a^b\equiv \begin{cases} a^b& b \le \varphi(m)\\ a^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} & b > \varphi(m) \end{cases} \pmod m$$

证明 oi-wiki 上有。

这样我们就能够快速计算 $a^b \bmod m$ 这一类问题，只用 $O(\log m)$ 的时间，而不是快速幂 $O(\log b)$。

结论

结论1： 若最小的 $x \le \varphi(n)$ 且 $a^x\equiv 1 \pmod p(\gcd(a,p)=1)$，则 $x|\varphi(p)$。

证明：

反证法。

设 $\varphi(n)=gx+r(1 \le r < x)$，则 $a^{gx+r}\equiv 1 \pmod p$。

所以 $a^{r} \equiv 1 \pmod p$，而 $r < x$，与 $x$ 最小性矛盾，所以结论成立。

练习

题目1： 给定 $P,A \le 10^8$，求出 $\frac{1}{P}$ 在 $A$ 进制小数下的循环节位数（如果是纯循环小数才求，否则输出 -1）（金老师原创）

思路：

设答案为 $L$，我们会得到 $A^L \equiv 1\pmod p$。

因为我们去模拟除法就会发现出现循环节意味着出现 $1$。

首先，若 $A,P$ 不互质就无解。

否则，输出最小的 $L$ 满足 $A^L \equiv 1 \pmod p$。根据结论，$L| \varphi(p)$，枚举即可。

题目2： 求证：$n \ge 1$ 时，$2^n \not\equiv 1 \pmod p$。（《具体数学》第四章 题46）

证明：

考虑 $n$ 的最小素因子。

不妨设 $n=pq$，其中 $p$ 是 $n$ 的最小素因子。

如果 $p=2$，结论显然成立。

反证法，假设存在 $n$ 使得 $2^n \equiv 1 \pmod p$。

我们在模 $p$ 的意义下看一下上式：$(2^p)^q \equiv 1 \pmod p$。

根据费马小定理，$2^{p-1}\equiv 1 \pmod p$。

所以我们可以得到：$(2^p)^q\equiv 2^q \equiv 1 \pmod p$。

根据之前欧拉定理的结论，我们知道必然有 $p-1|q$。

而 $q|n$，所以 $p-1|n$。

说明 $p-1$ 是比 $p$ 更小的 $n$ 的因子，与 $p$ 的最小性矛盾！

所以命题得证。

题目3： 给定 $b, p, n$，求 $1 \sim n$ 中有多少数 $x$ 满足 $x^{x!} \equiv b \pmod p$。$b,p\le 10^8,n \le 10^{18}$

思路：

如果 $x < \varphi(p)$，我们可以直接枚举检验，复杂度 $O(p)$。

否则，$x^{x!}\equiv x^{x! \bmod \varphi(p)+\varphi(p)}$，又因为 $x \le \varphi(p)$，所以 $x! \bmod \varphi(p)=0$。

所以 $x^{\varphi(p)} \equiv b \pmod p$，我们枚举 $p$ 的完全剩余系看看 $x$ 模 $p$ 余几时是可以的，然后计算一下 $n$ 以内这样子的数的个数即可。