记录本人遇到的有趣的数学题目
在高数里面有很多极限题目，大多数都可以使用洛必达进行求解。前几天遇到一个洛必达不可求解的题目，觉得很有趣，记录在这里。
题目
\[\lim_{x \rightarrow 3} \cfrac {\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {10x+6}}}}-6} {\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {2x+3}}}}-3}
\]
首先易知，分子分母在\(x=3\)都为0.这是一个\(0\over 0\)的分式，但是显然这个不能用洛必达求解，洛必达求导并不能使式子变得更加简单。
解
- 首先对于
\[\begin{align}
&\lim_{x \rightarrow 3} \cfrac {\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {10x+6}}}}-6} {\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {2x+3}}}}-3}
\\
=&\lim_{x \rightarrow 3}\cfrac {\sqrt {36+\sqrt {36+\sqrt {36+\sqrt {10x+6}-6}-6}-6}-6} {\sqrt {9+\sqrt {9+\sqrt {9+\sqrt {2x+3}-3}-3}-3}-3}
\end{align}
\]
式中的\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6\)和\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3\)都是无穷小.
并且上分式可以看作是\(\sqrt{36+0}-6\),下分式可以看作式\(\sqrt{9+0}-3\)，重点放在了“0”的计算上面
下面计算
\[\begin{align}
&\lim\limits_{x \rightarrow 3}\cfrac {\sqrt{10x+6}-6}{\sqrt{2x+3}-3}\\
设{x=t+3}，=&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac {\sqrt{36+10t}-6}{\sqrt{9+2t}-3}\\
=&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \cfrac{\sqrt{1+\frac {10t} {36}}-1}{\sqrt{1+\frac {2t} 9}-1}\\
=&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \cfrac{\frac{1}{2} \times \frac{10t}{36}}{\frac{1}{2} \times \frac{2t}{9}}\\
=&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \times \frac{10t}{36} \times \frac{9}{2t}\\
=&\frac{1}{2} \times 5
\end{align}
\]
我们得到\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6\)和\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3\)是同阶的无穷小量，并且比值为\(\frac{1}{2}\times 5\)
\(\frac{1}{2}\)是因为\(6：3\)得来的。而\(5\)是变量前面系数的比值.
我们可以继续假设无穷小量\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3\)为\(\tau,\tau \rightarrow 0\),则\(\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6\)为\(\frac{2}{5}\tau\).
可以继续求极限
\[\lim\limits_{\tau \rightarrow 0}\cfrac {\sqrt{36+\frac{5\tau}{2}}-6}{\sqrt{9+\tau}-3}
\]
根据经验我们知道，上式结果为\(\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\).
所以源式的结果为\({(\frac{1}{2})}^4\times 5=\frac{5}{16}\).
