记录本人遇到的有趣的数学题目
在高数里面有很多极限题目,大多数都可以使用洛必达进行求解。前几天遇到一个洛必达不可求解的题目,觉得很有趣,记录在这里。
题目
limx→3√30+√30+√30+√10x+6−6√6+√6+√6+√2x+3−3
首先易知,分子分母在x=3都为0.这是一个00的分式,但是显然这个不能用洛必达求解,洛必达求导并不能使式子变得更加简单。
解
- 首先对于
limx→3√30+√30+√30+√10x+6−6√6+√6+√6+√2x+3−3=limx→3√36+√36+√36+√10x+6−6−6−6−6√9+√9+√9+√2x+3−3−3−3−3(1)(2)
式中的limx→3√10x+6−6和limx→3√2x+3−3都是无穷小.
并且上分式可以看作是√36+0−6,下分式可以看作式√9+0−3,重点放在了“0”的计算上面
下面计算
limx→3√10x+6−6√2x+3−3设x=t+3,=limt→0√36+10t−6√9+2t−3=limt→063√1+10t36−1√1+2t9−1=limt→06312×10t3612×2t9=limt→063×10t36×92t=12×5(3)(4)(5)(6)(7)(8)
我们得到limx→3√10x+6−6和limx→3√2x+3−3是同阶的无穷小量,并且比值为12×5
12是因为6:3得来的。而5是变量前面系数的比值.
我们可以继续假设无穷小量limx→3√2x+3−3为τ,τ→0,则limx→3√10x+6−6为25τ.
可以继续求极限
limτ→0√36+5τ2−6√9+τ−3
根据经验我们知道,上式结果为12×52.
所以源式的结果为(12)4×5=516.
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