有趣的极限题目

记录本人遇到的有趣的数学题目
在高数里面有很多极限题目，大多数都可以使用洛必达进行求解。前几天遇到一个洛必达不可求解的题目，觉得很有趣，记录在这里。

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题目

$$\lim_{x \rightarrow 3} \cfrac {\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {10x+6}}}}-6} {\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {2x+3}}}}-3}$$

首先易知，分子分母在$x=3$都为0.这是一个$0\over 0$的分式，但是显然这个不能用洛必达求解，洛必达求导并不能使式子变得更加简单。

解

1. 首先对于

$$\begin{align} &\lim_{x \rightarrow 3} \cfrac {\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {30+\sqrt {10x+6}}}}-6} {\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {2x+3}}}}-3} \\ =&\lim_{x \rightarrow 3}\cfrac {\sqrt {36+\sqrt {36+\sqrt {36+\sqrt {10x+6}-6}-6}-6}-6} {\sqrt {9+\sqrt {9+\sqrt {9+\sqrt {2x+3}-3}-3}-3}-3} \end{align}$$

式中的$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6$和$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3$都是无穷小.
并且上分式可以看作是$\sqrt{36+0}-6$,下分式可以看作式$\sqrt{9+0}-3$，重点放在了“0”的计算上面

下面计算

$$\begin{align} &\lim\limits_{x \rightarrow 3}\cfrac {\sqrt{10x+6}-6}{\sqrt{2x+3}-3}\\ 设{x=t+3}，=&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac {\sqrt{36+10t}-6}{\sqrt{9+2t}-3}\\ =&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \cfrac{\sqrt{1+\frac {10t} {36}}-1}{\sqrt{1+\frac {2t} 9}-1}\\ =&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \cfrac{\frac{1}{2} \times \frac{10t}{36}}{\frac{1}{2} \times \frac{2t}{9}}\\ =&\lim\limits_{t \rightarrow 0}\cfrac{6}{3} \times \frac{10t}{36} \times \frac{9}{2t}\\ =&\frac{1}{2} \times 5 \end{align}$$

我们得到$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6$和$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3$是同阶的无穷小量，并且比值为$\frac{1}{2}\times 5$
$\frac{1}{2}$是因为$6：3$得来的。而$5$是变量前面系数的比值.

我们可以继续假设无穷小量$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{2x+3}-3$为$\tau,\tau \rightarrow 0$,则$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt{10x+6}-6$为$\frac{2}{5}\tau$.
可以继续求极限

$$\lim\limits_{\tau \rightarrow 0}\cfrac {\sqrt{36+\frac{5\tau}{2}}-6}{\sqrt{9+\tau}-3}$$

根据经验我们知道，上式结果为$\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}$.
所以源式的结果为${(\frac{1}{2})}^4\times 5=\frac{5}{16}$.