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有趣的极限题目

记录本人遇到的有趣的数学题目
在高数里面有很多极限题目,大多数都可以使用洛必达进行求解。前几天遇到一个洛必达不可求解的题目,觉得很有趣,记录在这里。


题目

limx330+30+30+10x+666+6+6+2x+33

首先易知,分子分母在x=3都为0.这是一个00的分式,但是显然这个不能用洛必达求解,洛必达求导并不能使式子变得更加简单。

  1. 首先对于

(1)limx330+30+30+10x+666+6+6+2x+33(2)=limx336+36+36+10x+666669+9+9+2x+33333

式中的limx310x+66limx32x+33都是无穷小.
并且上分式可以看作是36+06,下分式可以看作式9+03,重点放在了“0”的计算上面

下面计算

(3)limx310x+662x+33(4)x=t+3=limt036+10t69+2t3(5)=limt0631+10t3611+2t91(6)=limt06312×10t3612×2t9(7)=limt063×10t36×92t(8)=12×5

我们得到limx310x+66limx32x+33是同阶的无穷小量,并且比值为12×5
12是因为63得来的。而5是变量前面系数的比值.

我们可以继续假设无穷小量limx32x+33τ,τ0,则limx310x+6625τ.
可以继续求极限

limτ036+5τ269+τ3

根据经验我们知道,上式结果为12×52.
所以源式的结果为(12)4×5=516.

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