伊藤引理

伊藤引理 Ito' lemma

$$df(B_t) = f'(B_t)dB_t + 1/2 f''(B_t)dt$$

与一般的微积分有所不同。下面我们回忆一下，传统的微积分对于微分的形式

对于可微函数$f$，有

$$\mathrm{d} f = f'(x)\mathrm{d} x$$

这个式子实际上来自于泰勒展开

$$f(x+\Delta x)-f(x) = f'(x)(\Delta x)+\frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2 + \frac{1}{6}f'''(x)(\Delta x)^3 + ...+$$

我们知道第二项$\frac{1}{2}f''(x)(\Delta x)^2$是第一项的低阶无穷小。所以可以忽略不计，有$\mathrm{d} f = f'(x)\mathrm{d} x$

$f$是关于$x$,$t$的函数，

$$\mathrm{d}f =\frac{\partial f}{\partial x } \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial t } \mathrm{d}t$$

作为一个随机过程，布朗运动的二次变分是 T 而不是 0（与之相对应的是，连续可微函数的二次变分为 0）

对于一个普通的连续可微函数，随着对区间T越来越细的划分，它的二次变分趋于 0。然而对于布朗运动，其非 0 的二次变分说明随机性使得它的波动太频繁，以至于不管我们如何细分区间 T、得到多么微小的划分区间，这些微小区间上的位移差的平方逐段累加起来的总和都不会消失（即二次变分不为 0），而是等于这个区间的长度 T！
这是布朗运动的一个非常重要的性质。
用公式表示为：

$$(\mathrm{d} B)^2 = \mathrm{d}t$$

所以伊藤引理有重要形式：

$$\mathrm{d}f(B_t) = f'(B_t)\mathrm{d}B_t + \frac {1}{2}f''(B_t)\mathrm{d}t$$

ss