POJ1664 放苹果

Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

问题分析

设定f(M,N)表示将M个苹果放到N个盘子里的所有种分配方法。
下面考虑三种情况：

1. M>N
   如果苹果个数多于盘子的个数，这里又可以分为两种情况：

   1. 所有的盘子中都有苹果
      这种情况下，我们先在每个盘子里放上一个苹果。这样就还剩下M−N个苹果。所以，在所有的盘子中都必须有苹果的情况下，将M个苹果放到N个盘子里的分配方法有f(M−N,N)种。
   2. 至少有一个盘子中没有苹果
      另一种情况，就是不是全部的盘子里都有苹果。所以，这种情况下的分配方法为f(M,N−1)种。之所以盘子数是N−1，表示的是放置苹果的盘子最多为N−1个。

   对上述两种情况进行综合，可以得到f(M,N)=f(M−N,N)+f(M,N−1)

2. M=N
   这种情况和上述情况类似，可以视为上述情况的一个特例。即所有盘子中都有苹果的情况是已知的，为1种。所以，可以得到f(M,N)=1+f(M,N−1)

3. M<N
   当苹果个数少于盘子的个数，即放置苹果的盘子最多为M个。所以，可以得到f(M,N)=f(M,M)。这样，就可以把这种情况转换到上述的第二种情况。

   通过对上述三种情况的分析，可以得到一个综合性的递归方程：
   f(M,N)=f(M−N,N)+f(M,N−1)
   同时，还需要注意几个边界函数值(1≤M,N≤10)：
   f(0,N)=f(1,N)=f(M,1)=1
   ifM<0thenf(M,N)=0

程序实现

1.递归

public int f(int m, int n)
{
    if (m == 0 || m == 1 || n == 1)
    {
        return 1;
    }
    if (m < 0)
    {
        return 0;
    }
    return f(m - n, n) + f(m, n - 1);
}

2.非递归

public int f(int m, int n)
{
    int[][] temp = new int[m + 1][n + 1];
    for (int k = 0; k <= m; k++)
    {
        for (int d = 1; d <= n; d++)
        {
            if (k == 0 || k == 1 || d == 1)
            {
                temp[k][d] = 1;
            } else
            {
                int x, y;
                if (k - d < 0)
                {
                    x = 0;
                } else
                {
                    x = temp[k - d][d];
                }
                y = temp[k][d - 1];
                temp[k][d] = x + y;
            }
        }
    }
    return temp[m][n];
}