poj 3155 (最大密度子图)
题意：一个公司有n个人，给出了一些有冲突的人的对数(u,v)，公司决定裁人，那么总裁现在要裁掉冲突率最高的那些人（冲突率=在这些人中存在的冲突数/人数）。就是求出一些点，这些点之间的边数/点数最大。最大密度子图。
思路：胡伯涛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》介绍了两种方法：
第一种：转换为最大权闭合图的模型来求解：
设max g = f(x)= |E‘|/|V’| ，找一个子图的边数与点数的比值达到其中的最大，我们通常都是构造一个函数max h（g）= |E'|-g*|V'|,当h(g)为0的时候，g的值即为最优，h（g）>0 时 g<最优值， h(g)<0时，g>最优值；因为如果最大值大于0那么我们就可以继续增加g的值来减小h(g),若最大值都小于0了，那么g不可能增加只可能减少！
观察h（g）,边和点有依赖关系，就边依赖点，边存在的必要条件是点的存在，那么这样以后，如果我们将边看成点，那么这不就符合最大权闭合子图了。现在h（g）的求法就可以通过求新图的最大权闭合子图的值来求解，但是这里有个问题，建图之后你可以发现当求出来的值和h（g）原本应该为值不对应（具体为什么不怎么理解），可以这样理解，当最小的一个g使得h（g）为0的时候该解即为最优解，因为h(g)是以个单调递减函数，就该函数来看只可能存在一个g使得h（g）=0；然而通过求最大权闭合子图是子图权值和为0的有很多中g，当最小的一个g使得h（g）为0之后，如果g继续增大那么虽然通过最大权闭合子图的值求出来依旧为0，但是真正的h（g）< 0 了，所以要使得最优的一个解就是使得最大权闭合子图的权值和为0的最小的一个g值！这样求解之后从源点流到汇点为满流的边即为最大密度子图中的点。
第二种：
源点到各个点连接一条有向边权值为U,各个点到汇点连接一条边权值为U+2*g-d，原来有关系的点连接两条有向边（u,v），（v,u）权值为1（U可以取m，U的目的是用来使得2*g-d的值始终为正），这样以后求最小割，那么h（g）= （U*n-mincut）/2;二分找到最优值即为mid ，但是如果要求图中的点则需要用left来从新图求最大流之后然后从源点开始dfs遍历，最后得出结果。
第一种代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=1500;
const double inf=0x3fffffff;
const double eps=1e-8;
int gap[N],dis[N],start,end,ans,sum,head[N],num,dep[N],n,m;
bool vis[N];
struct edge
{
int st,ed,next;
double flow;
}e[80*N];
struct node
{
int x,y;
}P[1100];
void addedge(int x,int y,double w)
{
e[num].st=x;e[num].ed=y;e[num].flow=w;e[num].next=head[x];head[x]=num++;
e[num].st=y;e[num].ed=x;e[num].flow=0;e[num].next=head[y];head[y]=num++;
}
void makemap(double g)
{
int i;
memset(head,-1,sizeof(head));
num=0;
for(i=1;i<=n;i++)
addedge(i,end,g);
for(i=0;i<m;i++)
{
addedge(n+i+1,P[i].y,inf);
addedge(n+i+1,P[i].x,inf);
addedge(start,n+i+1,1.0);
}
}
double dfs(int u,double minflow)
{
if(u==end)return minflow;
int i,v;
double f,flow=0.0;
for(i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
v=e[i].ed;
if(e[i].flow>0)
{
if(dis[v]+1==dis[u])
{
f=dfs(v,e[i].flow>minflow-flow?minflow-flow:e[i].flow);
flow+=f;
e[i].flow-=f;
e[i^1].flow+=f;
if(minflow-flow<=1e-8)return flow;
if(dis[start]>=ans)return flow;
}
}
}
if(--gap[dis[u]]==0)
dis[start]=ans;
dis[u]++;
gap[dis[u]]++;
return flow;
}
double isap()
{
double maxflow=0.0;
memset(gap,0,sizeof(gap));
memset(dis,0,sizeof(dis));
gap[0]=ans;
while(dis[start]<ans)
maxflow+=dfs(start,inf);
return 1.0*m-maxflow;
}
void dfs1(int u)
{
vis[u]=true;
if(u>=1&&u<=n)
sum++;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].ed;
if(vis[v]==false&&e[i].flow>0)
dfs1(v);
}
}
int main()
{
int i;
double Left,Right,mid,flow;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
{
if(m==0){printf("1\n1\n");continue;}
start=0,end=n+m+1,ans=end+1;
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y);
}
Left=0;Right=m;
while(Right-Left>=1.0/n/n)//胡伯涛的论文给出了证明,不同解之间误差的精度不超过1/(n*n）
{
mid=(Left+Right)/2;
makemap(mid);
flow=isap();//求出最大权值闭合图
if(flow<eps)//如果小于0，g值太大
Right=mid;
else Left=mid;
}
makemap(Left);//最大密度建图
isap();
memset(vis,false,sizeof(vis));
sum=0;
dfs1(start);
printf("%d\n",sum);
for(i=1;i<=n;i++)
if(vis[i]==true)//残留网络中源点能到达的点
printf("%d\n",i);
}
return 0;
}
第二种代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=110;
const double inf=0x3fffffff;
const double eps=1e-8;
int gap[N],dis[N],start,end,ans,sum,head[N],num,dep[N],n,m;
bool vis[N];
struct edge
{
int st,ed,next;
double flow;
}e[80*N];
struct node
{
int x,y;
}P[1100];
void addedge(int x,int y,double w)
{
e[num].st=x;e[num].ed=y;e[num].flow=w;e[num].next=head[x];head[x]=num++;
e[num].st=y;e[num].ed=x;e[num].flow=0;e[num].next=head[y];head[y]=num++;
}
void makemap(double g)
{
int i;
memset(head,-1,sizeof(head));
num=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
addedge(start,i,m*1.0);
addedge(i,end,m+2*g-dep[i]);
}
for(i=0;i<m;i++)
{
addedge(P[i].x,P[i].y,1.0);
addedge(P[i].y,P[i].x,1.0);
}
}
double dfs(int u,double minflow)
{
if(u==end)return minflow;
int i,v;
double f,flow=0.0;
for(i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
v=e[i].ed;
if(e[i].flow>0)
{
if(dis[v]+1==dis[u])
{
f=dfs(v,e[i].flow>minflow-flow?minflow-flow:e[i].flow);
flow+=f;
e[i].flow-=f;
e[i^1].flow+=f;
if(minflow-flow<=1e-8)return flow;
if(dis[start]>=ans)return flow;
}
}
}
if(--gap[dis[u]]==0)
dis[start]=ans;
dis[u]++;
gap[dis[u]]++;
return flow;
}
double isap()
{
double maxflow=0.0;
memset(gap,0,sizeof(gap));
memset(dis,0,sizeof(dis));
gap[0]=ans;
while(dis[start]<ans)
maxflow+=dfs(start,inf);
return maxflow;
}
void dfs1(int u)//遍历要选的点
{
vis[u]=true;
sum++;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].ed;
if(vis[v]==false&&e[i].flow>0)
dfs1(v);
}
}
int main()
{
int i;
double Left,Right,mid,hg;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
{
if(m==0){printf("1\n1\n");continue;}
start=0,end=n+1,ans=end+1;
memset(dep,0,sizeof(dep));
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y);
dep[P[i].x]++;dep[P[i].y]++;
}
Left=0;Right=m;
while(Right-Left>=1.0/n/n)//胡伯涛的论文给出了证明,不同解之间误差的精度不超过1/(n*n）
{
mid=(Left+Right)/2;
makemap(mid);
hg=isap();
hg=(1.0*n*m-hg)/2;
if(hg>eps)
Left=mid;
else Right=mid;
}
makemap(Left);//用mid值建图容易wa,因为你此时的mid不一定满足h(mid)>eps,但是Left一定是满足的
isap();
memset(vis,false,sizeof(vis));
sum=0;
dfs1(0);
printf("%d\n",sum-1);
for(i=1;i<=n;i++)
if(vis[i]==true)
printf("%d\n",i);
}
return 0;
}
