【经典算法】基本的排序算法：插入排序

引言

An insertion sort starts by considering the two first elements of the array data,which are data[0] and data[1]. if they are out of order, and interchange takes place. Then,the third element, data[2], is considered and inserted into its proper place.If data[2] is less than data[0] and data[1],these two elements are shifted by on position; data[0] is place at position  i, data[1] at position 2,and data[2] at position 0. If data[2] is less than data[1] and not less than data[0],then only data[1] is moved to position 2 and its place is taken by data[2]. If finally, data[2] is not less than both its predecessors,it stays in its current position,Each element data[i] is inserted into its proper location j such the 0<=j<=i, and all elements greater than data[i] are moved by one position.

译： 插入排序首先考虑data中的前两个元素，即data[0]和data[1]。如果它们的次序颠倒了，就交换它们。然后，考虑第三个元素data[2],将其插入到合适的位置上。如果data[2]同时小于data[0]和data[1],那么data[0]和data[1]都要移动一个位置；data[0]放在位置1上，data[1]放在位置2上，而将data[2]放在位置0上。如果data[2]小于data[1]，而不于data[0],那么只须把data[1]移动到位置2上，并由data[2]占据它的位置。最后，如果data[2]不小于前两个元素，它将保留在当前的位置。每一个元素data[i]都要插入到合适的位置j上，使0<=j<=i,所有比data[i]大的元素都要移动一个位置。

插入排序算法伪码与实现

插入排序算法的要点如下：

insertionsort(data[],n){
  for(i=1; i<n; i++)
     move all elements data[j] greater than data[i] by one position;
     place data[i] in its proper position;
}

注意，在每次迭代中，排序只限于数组的一小部分，并且只在最后一次迭代中才涉及到整个数组。如下图所示是当对数组[5 2 3 8 1]行insertionsort()方法时，数组所发生的一系变动。

因数组中只有一个元素已排序，所以算法从第二元素位置即位置1开始排序。接着，对于每一个元素tmp = data[i],所有比tmp大的位素都要复制到下一位置上，而把tmp放在合适的位置上。

实现代码如下：

 

template< class T>
void insertionsort(T data[], int n){
        for(int i =1, j; i<n; i++){
            T tmp = data[i];
            for(j =i; i>0&&tmp< data[j-1]; j--)
                 data[j] = data[j-1];
            data[j] =tmp;
        }
}

插入排序的一个优点是只有需要时才对数组排序。如果数组已经排好序了，就不再对数组进行移动；只有变量tmp得到初始化，存储在变量中的值返回值原位置。可以识别出已排序的数组部分，并相应停止，但忽视元素可以已在合适位置上的事实。一个缺点是：如果插入数据项，所有比插入元素大的元素都必须移动。插入操作不是局部的，可能需要移动大量的元素。

算法分析

为了获取insertionsort()算法执行的移动和比较次数，首先要注意，外层的for语句执行n-1次。但是，比data[i]大的元素移动一个位置的次数并不总是相同的。

最好的情况是：数据已排好序。对于每个位置i,只需比较一匀，这样就只需进行n-1次比较(其数量级是o(n))和2(n-1)次移动，所有的移动和比较都是多余的。最坏的情况是：数据按相反顺序排序。在这种情况下，对于外层for的每次迭代i,都比较i次，即所有迭代的比较总数是

内层for中的赋值次数可以用相同的公式计算。把tmp在外层for中加载和卸载的次数加起来，得到总的移动次数：

前面我们只考虑了极端情况。如果数据是随机排序的，结果如何呢？假设数据项占用数组单元的概率相等，在外层for的迭代i中，data[i]与其它元素的平均比较次数计算如下：

为了求得所有比较次数的平均值，对于所有的迭代i来说，都必须从1开始一直累加到n-1为止。结果是

它的时间复杂度是O(n^2),大约是最坏情况下的比较次数的1/2。按照相同的方式，可以确定在外层for的迭代i中，data[i]需要移动0,1,..i-1次：即

次，加上一定分会发生的两次移动。因此，在外层for中所有迭代中，平均移动次数为

其中时间复杂度为O(n^2)。

综上所述，对于随机顺序的数组来说，移动和比较的次数是与最好情况接近，还是与最坏情况接近？遗憾的是，它接近于后者，即：当数组的元素加倍时，平均需要付出4倍的努力来排序。

参考文献

[1] Adam Drozdek , Data Structures and Algorithms in C++,Third Edition.

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