素数算法逐步优化
素数求和问题，也是大一的一次实验。重新回顾，重新体会。
问题描述：从键盘输入任意一个整数n，编程计算并输出1～n之间所有素数之和。
附加题（选做）：针对实验的问题想出一种算法，能对任意一个5<n<1,000,000,000的整数进行处理，并且时间限制在15秒内，内存利用限制为32M。
首先，必须了解下素数的概念： （百度百科） http://baike.baidu.com/view/10626.htm?fromId=1767
阶段一。常规逐个判断是否是素数
这里，n的大小没做具体要求，所用时间，所占内存也都没限制，所以代码比较随意，常规的判断一个数是否是素数，满足条件就累加的和上。
效率低，但也是我最初的方法。还是粘出来留念留念。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int is_prime( int n )
{
int i, j, ret;
int sum = 2;
for ( j=2; j<=n; j++ )
{
ret = 1; /* 利用ret的不同返回值，进行求和 */
if( j % 2 != 0 )
{
for( i=3; i<=sqrt(j); i++ )
{
if( j %i == 0 )
ret = 0;
}
}
else
ret = 0;
if (ret == 1)
sum = sum + j;
}
return sum;
}
int main()
{
int n, result;
printf("please input a number:");
scanf("%d", &n);
result = is_prime( n );
printf("%d", result);
return 0;
}
阶段二。素数筛选法。
素数筛选法之前我没接触过，没什么概念。是在尝试完成附加题的时候学习的。
基本思想
（以上内容来自百度百科）
现在，利用筛选法，写了个简单的例子，筛选出了100以内所有的素数。
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[101], i, j;
for( i=2; i<=100; i++ ) //先初始化，且各位都不为0
a[i]=i;
for(i=2;i<=50;i++) //直接判断 max/2即可 大于一半后该数的整数倍不在max范围内，无需考虑
{
if(a[i]!=0)
{
for( j=i+i; j<=100; j+=i ) //每次把i的倍数置0，去掉。
a[j]=0;
}
}
for(i=2;i<=100;i++)
{
if(a[i]!=0) //通过判断是否为0，进行筛选。
printf("%3d",a[i]);
}
return 0;
}
相对来说，利用这个筛选法比常规的逐个判断在效率上有了很大的提高，可以说以我当时初学c的水平，最多也就只能写出这样的代码了。
可是，要想完成附加题，这样的显然是不行的。 且不说时间，就内存来说，32M = 33,554,432 < 1,000,000,000 * 4 。也不允许，所以，常规的筛法是不能完成的。
可是，附加题加分的阿。。 所以呢，，， 在万般无奈下，选择了百度.....就有了接下去的延伸。
阶段三。算法优化。
1.大牛算法一。 ----忘记出处了，在此道个歉了。
#include <time.h>
#include <math.h>
#define SIZE 1000000000
#define BITMAPSIZE 8
unsigned char map[SIZE / 2 / BITMAPSIZE + 1];
unsigned char bsm[10000];/* 这是一个估算值 */
int bn[10000];
int main()
{
int i, j, l;
int c = 0;
int st;
int basn;
st = clock();
/* 计算素数 */
basn = (int)sqrt(SIZE) + 1;
for (i = 3; ; i += 2)
{
if ((bsm[i / BITMAPSIZE] & (1 << (i % BITMAPSIZE))) == 0)
{
for (j = i << 1; j < basn; j += i)
{
bsm[j / BITMAPSIZE] |= (1 << (j % BITMAPSIZE));
}
bn[c++] = i;
if (i > basn)
break;
}
}
for (i = 0; i < c; i++)
{
j = bn[ i ] << 1;
l = j + bn[ i ];
do
{
map[l / (BITMAPSIZE * 2)] |= (1 << ((l >> 1) % BITMAPSIZE));
l += j;
} while (l < SIZE);
}
c = 0;
for (i = 1; i < SIZE / 2; i++)
{
i++;
if ((map[i / BITMAPSIZE] & (1 << (i % BITMAPSIZE))) == 0)
{
c++;
}
i++;
if ((map[i / BITMAPSIZE] & (1 << (i % BITMAPSIZE))) == 0)
{
c++;
}
}
printf("1~1000000000 number: %d\n", c);
return 0;
}
本质就是素数筛，只不过用了两遍。
第一组循环统计根号十亿内的素数。正常的筛法应用。
第二组循环用上面计算出来的素数筛剩余的范围。
这里比较有意思的地方就是它节省内存用的技巧。1.使用位作标志。2.它删掉了所有的偶数。也就是说第1位表示3，第2位表示5等等。也正因如此它的筛的步长才是两倍的素数，而起始步长是3倍的素数。
第三组循环就是统计标志位了。
2.大牛算法二。----bccn里面的beyondyf版主，杨大哥的算法。
在上一算法的基础上进一步优化，代码量是少了。同时，也更难懂了。
#include<stdio.h>
#define RANGE 1000000000
char P[RANGE / 16 + 1];
int main()
{
int i, j, t, c = 1;
for(i = 3; i <= RANGE; i += 2)
if(!(P[i >> 4] & (1 << (i >> 1 & 7))))
for(c++, t = i + i, j = t + i; j > 0 && j <= RANGE; j += t)
P[j >> 4] |= 1 << (j >> 1 & 7);
printf("%d\n", c);
return 0;
}
3.大牛算法三。------原文出处http://blog.csdn.net/redraiment/article/details/2072005 作者：子清行
算法优化
- 要找出一个数的因子，其实不需要检查 2→k，只要从 2->sqrt(k)，就可以了。所有，我们筛法里，其实只要筛到sqrt(n)就已经找出所有的素数了，其中n为要搜索的范围。
- 另外，我们不难发现，每找到一个素数 k，就一次删除 2k, 3k, 4k,..., ik，不免还是有些浪费，因为2k已经在找到素数2的时候删除过了，3k已经在找到素数3的时候删除了。因此，当 i＜k 时，都已经被前面的素数删除过了，只有那些最小的质因子是k的那些数还未被删除过，所有，就可以直接从 k*k 开始删除。
- 再有，所有的素数中，除了 2 以外，其他的都是奇数，那么，当 i 是奇数的时候，ik 就是奇数，此时 k*k+ik 就是个偶数，偶数已经被2删除了，所有我们就可以以2k为单位删除步长，依次删除 k*k, k*k+2k, k*k+4k, ...。
- 我们都清楚，在前面一小段范围内，素数是比较集中的，比如 1→100 之间就有25个素数。越到后面就越稀疏。
因为这些素数本身值比较小，所以搜索范围内，大部分数都是它们的倍数，比如搜索 1→100，这 100 个数。光是 2 的倍数就有 50 个，3 的倍数有 33 个，5的倍数 20 个，7 的倍数 14 个。我们只需搜索到7就可以，因此一共做删除操作50+33+20+14=117次，而 2 和 3 两个数就占了 83 次，这未免太浪费时间了。
所以我们考虑，能不能一开始就排除这些小素数的倍数，这里用 2 和 3 来做例子。
如果仅仅要排除 2 的倍数，数组里只保存奇数：1、3、5...，那数字 k 的坐标就是 k/2。
如果我们要同时排除 2 和 3 的倍数，因为 2 和 3 的最小公倍数是 6，把数字按 6 来分组：6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5。其中 6n, 6n+2, 6n+4 是 2 的倍数，6n+3 是 3 的倍数。所以数组里将只剩下 6n+1 和 6n+5。n 从 0 开始，数组里的数字就一次是 1, 5, 7, 11, 13, 17...。
现在要解决的问题就是如何把数字 k 和它的坐标 i 对应起来。比如，给出数字 89，它在数组中的下标是多少呢？不难发现，其实上面的序列，每两个为一组，具有相同的基数 n，比如 1 和 5 ，同是 n=0 那组数，6*0+1 和 6*0+5；31 和 35 同是n=5那组，6*5+1 和 6*5+5。所以数字按6分组，每组2个数字，余数为5的数字在后，所以坐标需要加 1。
所以 89 在第 89/6=14 组，坐标为 14*2=28，又因为 89%6==5，所以在所求的坐标上加 1，即 28+1=29，最终得到 89 的坐标 i=29。同样，找到一个素数 k 后，也可以求出 k*k 的坐标等，就可以做筛法了。
这里，我们就需要用 k 做循环变量了，k 从 5 开始，交替与 2 和 4 相加，即先是 5+2=7，再是 7+4=11，然后又是 11+2=13...。这里我们可以再设一个变量gab，初始为 4，每次做 gab = 6 - gab，k += gab。让gab在2和4之间交替变化。另外，2 和 4 都是 2 的幂，二进制分别为10和100，6的二进制位110，所以可以用 k += gab ^= 6来代替。参考代码：
gab = 4;
for (k = 5; k * k <= N; k += gab ^= 6)
{
...
}
但我们一般都采用下标 i 从 0→x 的策略，如果用 i 而不用 k，那应该怎么写呢？
由优化策略(1)可知，我们只要从 k2 开始筛选。 n=i/2，我们知道了 i 对应的数字 k 是素数后，根据(2)，那如何求得 k2 的坐标 j 呢？这里假设 i 为偶数，即 k=6n+1。
k2 = (6n+1)*(6n+1) = 36n2 + 12n + 1，其中 36n2+12n = 6(6n2+2n) 是6的倍数，所以 k2 除 6 余 1。
所以 k2 的坐标 j = k2/6*2 = 12n2+4n。
由优化策略(2)可知，我们只要依次删除 k2+2l×k, l = 0, 1, 2...。即 (6n+1)×(6n+1+2l)。
我们发现，但l=1, 4, 7...时，(6n+1+2l)是3的倍数，不在序列中。所以我们只要依次删除 k2, k2+4l, k2+4l+2l...，又是依次替换2和4。
为了简便，我们可以一次就删除 k2 和 k2+4l 两项，然后步长增加6l。所以我们需要求 len=4l 和 stp=6l。不过这里要注意一点，k2+4k=(6n+1)*(6n+5)，除以6的余数是5，坐标要加1。
len = k*(k+4)/6*2 - k
2
/6*2 = (6n+1)*(6n+1+4)/6*2+1 - (6n+1)*(6n+1)/6*2 = (12n
2
+12n+1) - (12n
2
+4n) = 8n+1; stp = k*(k+6)/6*2 - k
2
/6*2 = 12n+2;
最终，我们得到：
len = 8n+1; stp = 12n+2; j = 12n2+4n;
同理可以求出 k=6n+5 时的情况：
len = 4n+3; stp = 12n+10; j = 12n
2
+20n+8;
下面的代码在实现上用了位运算，可能有点晦涩。
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#define N 1000000000
#define size (N/6*2 + (N%6 == 5? 2: (N%6>0)))
int p[size / 32 + 1] = {1};
int creat_prime(void)
{
int i, j;
int len, stp;
int c = size + 1;
for (i = 1; ((i&~1)<<1) * ((i&~1) + (i>>1) + 1) < size; i++)
{
if (p[i >> 5] >> (i & 31) & 1) continue;
len = (i & 1)? ((i&~1)<<1) + 3: ((i&~1)<<2) + 1;
stp = ((i&~1)<<1) + ((i&~1)<<2) + ((i & 1)? 10: 2);
j = ((i&~1)<<1) * (((i&~1)>>1) + (i&~1) + 1) + ((i & 1)? ((i&~1)<<3) + 8 + len: len);
for (; j < size; j += stp)
{
if (p[j >> 5] >> (j & 31) & 1 ^ 1)
p[j >> 5] |= 1L << (j & 31), --c;
if (p[(j-len) >> 5] >> ((j-len) & 31) & 1 ^ 1)
p[(j-len) >> 5] |= 1L << ((j-len) & 31), --c;
}
if (j - len < size && (p[(j-len) >> 5] >> ((j-len) & 31) & 1 ^ 1))
p[(j-len) >> 5] |= 1L << ((j-len) & 31), --c;
}
return c;
}
int main(void)
{
clock_t t = clock();
printf("%d \n", creat_prime());
printf("Time: %f ", 1.0 * (clock() - t) / CLOCKS_PER_SEC);
return EXIT_SUCCESS;
}
以上三种优化算法，都达到了要求。在我的机器上，算法3的耗时最短，仅仅4秒多。
不过就我个人目前的能力来说，看懂这些算法还是相当吃力的。 先做个标记，等以后回头了慢慢咀嚼。
