二叉树

一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将全落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数。D≤20。输入最多包含1000组数据。

样例输入：

4    2

3   4

10  1

2   2

8   128

16  12345

样例输出：

12

7

512

3

255

36358

【分析】

对于一个结点的k，它的左儿子、右儿子的编号分别是2k和2k+1。可以写出如下的模拟程序：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD  20
int s[1<<MAXD];//最大结点个数为2MAXD-1
int main()
{
    int D, I;
    while(scanf("%d%d", &D, &I)!=EOF)
    {
        memset(s, 0, sizeof(s));//初始化开关
        int n = (1<<D)-1; //n是最大结点编号
        int k ;
        for(int i = 0; i < I; i++)//连续让I个小球下落
        {
            k = 1;
            while(1)
            {
                s[k] = !s[k];
                k = s[k] ? k*2 : k*2+1; //根据开关状态选择下落方向
                if(k > n)
                    break;//已经落“出界”了
            }
        }
        printf("%d\n", k/2); //“出界”之前的叶子编号
    }
    return 0;
}

 

说明：这个程序和前面数组模拟小球移动的程序有一个共同的特点：运算晨太大。

由于每个小球会落在根结点上，因此前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子树。一般地，只需看小球编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中。对于那些落入根结点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右。依此类推，直到小球落在叶子上。

如果使用题目中给出的编号I，则当I是奇数时，它往左走的第(I+1)/2个小球；当I是偶数时，它是往右走的第I/2个小球。所以给出模拟最后一个小球的路线：

 

#include<stdio.h>
int main() {
  int D, I;
  while(scanf("%d%d", &D, &I) == 2) {
    int k = 1;
    for(int i = 0; i < D-1; i++)
      if(I%2) { k = k*2; I = (I+1)/2; }
      else { k = k*2+1; I /= 2; }
    printf("%d\n", k);
  }
  return 0;
}