【递推】地铁重组(subway) 解题报告

问题来源

BYVoid魔兽世界模拟赛

【问题描述】

蒙提在暴风城与铁炉堡之间的地铁站中工作了许多年，除了每天抓一些矿道老鼠外，没有其他的变化。然而最近地铁站终于要扩建了，因为侏儒们攻克了建设长距离穿海隧道的技术难题，矮人们制造的炸药威力也有了很大的增强。于是，联盟决定修建通往诺森德的地铁。拥有常年的地铁站工作经验的蒙提被派往了新的线路上，他的工作是进行地铁重组。

如上图，在左边部分停靠着N节车厢，从右向左标号依次为1、2、……、N。中间有一个停车轨道，这个轨道上最多只能同时停放P节车厢。现在需要将左边轨道上的车厢驶入右边的轨道。每节车厢必须进入一次停车轨道进行检修，然后才能去右边的轨道。侏儒制造的每节车厢都有完整的动力装置，不需要依赖车头的带动。对于一个给定的停车轨道的大小P和左边轨道的车厢的数目N，蒙提想知道，这些车厢到右边轨道以后，有多少种不同的排列顺序。

【输入格式】

第1行：两个整数N,P。

【输出格式】

第1行：一个整数a，为排列顺序数除以4096的余数。

【输入样例】

3 2

【输出样例】

4

【数据说明】

对于70%的数据

1 <= N <= 500
1 <= P <= 300

对于100%的数据
1 <= N <= 2000
1 <= P <= 2000

分析

以栈为基础的递推公式是这道题目中唯一的难点，因为代码中有足够多的注释我就不再作过多解释了。

/*
ID: ringxu97
LANG: C++
TASK: subway
SOLUTION: 递推
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
//F[i][j]表示左边有i个 栈中有j个时的状态 最终状态为F[0][0]
//F[i][j]=F[i+1][i-1]+F[i][i+1]
const int maxn=2000+10;
const int MOD=4096;
int n,p;
int F[maxn][maxn];
void solve()
{
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
    for(int j=min(p,n-i);j>=0;--j)
    {
        F[i][j]=F[i][j+1]%MOD;;
        if(j>0)F[i][j]+=F[i+1][j-1]%MOD;;
        F[i][j]=F[i][j]%MOD;
    }
}
int main()
{
    freopen("subway.in", "r", stdin);
    freopen("subway.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d",&n,&p);
    F[n][0]=1;
    solve();
    printf("%d\n",F[0][0]%MOD);
    return 0;
}