【动态规划】天堂(Heaven) 解题报告
天堂(heaven)
题目描述
每一个要上天堂的人都要经历一番考验，当然包括小X，小X开始了他进入天堂的奇异之旅。地狱有18层，天堂竟然和地狱一样，也有很多很多层，天堂共有N层。从下到上依次是第1，2，3，…，N层，天堂的每一层都是一个延伸无限远的地板，在地板上人可以任意走动，层与层之间是平行关系，每一层的地板都是由人不能穿过的物质构成，幸好每一层地板上有且仅有1个人可以通过的洞口。
我们可以把小X和洞口，还有下面提到的气球店都看成点，坐标是二维的。小X开始在第1层的（0，0）.
小X的重量为M，第i层与第i+1层之间的特殊气体能浮起的重量为Wi ,每一层的地面上散落了若干个气球店，多个气球店可以在同一点，每个气球可以浮起的重量是1，去一个气球店一次只能领取一个气球，不能连续在一个气球店领取气球，当然你可以在两个气球店之间来回跑，每个气球店供应的气球都是无限多的。第i层的气球只能在第i层进入第i+1层时使用，当小X在第i层，只有站到了第i+1层洞口的位置（在其它位置不会浮起），并且自身的重量小于等于气球和特殊气体浮起重量的总和，才可以进入第i+1层。小X想知道他要到达第N层走过的长度最少是多少？题目保证有解。
输入文件
第1行： 三个正整数N，M，Q（Q表示气球店）
第2行： 共2*（N-1）个整数，每两个数描述1个洞口坐标，第i对xi,yi表示第i+1层的洞口位置(xi,yi)。
第3行： 共N-1个整数，第i个数为Wi。
往后Q行，每行三个整数x,y,z , 表示第Z层有一个气球店，坐标为（x,y）
输出文件
1个实数L，保留两位小数，表示小X最少要走的长度。
样例输入
3 10 4
0 0 1 2
9 0
0 1 1
2 3 1
0 1 2
1 1 2
样例输出
13.00
【数据范围】
2<=N<=100
每层的气球店数目不超过50。
0<=M<=100, 0<=Wi<=100
坐标-3000<=x,y<=3000
一开始看上去以为和图论有关，没有意识到是DP，用了搜索，居然还得了30分。但是这题每层的气球只在每一层用，只要想到了用DP，以每一层为单位，分别求出最优解。方程就很好想了，转移方程也不是难点。重点在思维，思维没到什么都是白搭。不多说上代码！
1 /* 2 ID: ringxu97 3 LANG: C++ 4 TASK: heaven 5 SOLUTION:动态规划 6 */ 7 #include<cstdio> 8 #include<cstring> 9 #include<iostream> 10 #include<cmath> 11 #include<cstdlib> 12 #include<algorithm> 13 #include<vector> 14 using namespace std; 15 const int MAXM=100+10,MAXN=100+10,MAXW=100+10,MAXQ=50+10; 16 const double maxlen=0x7fffffff;//用极大值定义最远的距离 17 const double err=1e-3; 18 double opt[MAXM][MAXQ];//储存动归状态 19 //opt[i][j]表示在一层中最买已经买到到i个气体并且在第j个商店时走的最少距离 20 //状态转移方程为opt[i][j]=min{opt[i-1][k]+distance(k,j) | k!=j} 21 struct point//定义点的结构体 22 { 23 int x,y;//所有点都是整数点 24 point(){x=y=0;} 25 point(int i,int j){x=i;y=j;} 26 double dist(point a)//成员函数，用于计算距离 27 { 28 return (double)sqrt( (a.x-x)*(a.x-x) + (a.y-y)*(a.y-y));//直接带入公式计算 29 } 30 }; 31 vector<point>shop[MAXN];//使用邻接链表储存每一层的商店，节约空间并给商店编号，方便状态转移 32 point hole[MAXN];//每一层洞口的位置 33 int W[MAXN];//气体的浮力 34 int N,M,Q; 35 36 void readdata()//数据的读入，注意邻接链表的处理 37 { 38 scanf("%d%d%d",&N,&M,&Q); 39 for(int i=1;i<N;++i)scanf("%d%d",&hole[i].x,&hole[i].y); 40 for(int i=1;i<N;++i)scanf("%d",W+i); 41 for(int i=1;i<=Q;++i) 42 { 43 int x,y,z; 44 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 45 point tmp(x,y); 46 shop[z].push_back(tmp); 47 } 48 } 49 int main() 50 { 51 freopen("heaven.in", "r", stdin); 52 freopen("heaven.out", "w", stdout); 53 readdata(); 54 point pos(0,0);//pos储存当前所在的位置，初始在(0,0) 55 double d=0;//记录已经走过的距离 56 for(int f=1;f<N;++f)//循环计算每一层楼的情况 57 { 58 int buy=M-W[f]>0?M-W[f]:0;//需要购买的气球数量，注意如果浮力大于体重则不需要购买，即购买数量为0 59 double best=maxlen;//动归过程中储存最优值的变量，初始为无穷大 60 if(buy) 61 { 62 memset(opt,0,sizeof(opt));//每一层动归前，初始化数组 63 int border=shop[f].size();//邻接表的边界 64 for(int i=0;i<border;++i) 65 opt[1][i]=pos.dist(shop[f][i]);//给初始状态赋值 66 for(int i=2;i<=buy;++i)//以下为动归过程 67 for(int j=0;j<border;++j) 68 { 69 opt[i][j]=maxlen; 70 for(int k=0;k<border;++k)if(k!=j)//题目中已经规定k不能与j相同 71 opt[i][j]=min(opt[i-1][k]+shop[f][j].dist(shop[f][k]),opt[i][j]); 72 } 73 for(int i=0;i<border;++i)//动归完成后计算最优方案的值 74 best=min(best,opt[buy][i]+shop[f][i].dist(hole[f])); 75 } 76 else best=pos.dist(hole[f]);//不用买气球的话就直接走到下一层的洞口 77 d+=best;//累加距离 78 pos=hole[f];//起点位置变为下一层的洞口处 79 } 80 printf("%.2lf\n",d); 81 return 0;//提高AC率的隐藏语句 82 }
