知识点简单总结——原根和指标
知识点简单总结——原根和指标
本文作者太菜所以基本不会写各种定理的证明，要看证明的话推荐 ldysy2012的文章
阶
仅对于 \((a,m)=1\) ，求得最小的正整数 $ x $ 使 $ a^{x} \equiv 1 (mod \ m) $ ，记作 $ ord_{m}a $。
性质
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$ ord_{m}a | \phi (m) $ , 由 $ a^{\phi (m)} \equiv 1 (mod \ m) $ 易证。
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$ a \equiv b (mod \ m),(a,m)=1 $，则有 $ ord_{m}a=ord_{m}b $。
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设 $ (a,m)=1 $ ,那么 $ a^x \equiv a^y \pmod{m} $ 的充要条件为 $ x \equiv y \pmod{ord_ma} $。
证明：改写成 $ a^{x-y} \equiv 1 \pmod{m} $。 -
$ a^1 , a^2 ,...,a^{ord_{m}a} $ 取模 $ m $ 的值互不相同。（不然就不是最小周期了）
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$ ab \equiv 1 \pmod m \to ord_ma=ord_mb $ 。
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$ (a,m)=1 \to ord_{m}a^{i}=\frac{ord_{m}a}{(i,ord_{m}a)} $ 。
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$ n|m \to ord_na|ord_ma $ 。
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$ (m,n)=1,(a,mn)=1 \to ord_{mn}a=[ord_ma,ord_na] $ 。
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$ (ab,m)=1,(ord_ma,ord_mb)=1 \to ord_mab=ord_ma*ord_mb $ 。
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$ (a,m)=1 , a>1 \to k \in Z^+ , ord_{p^{k+1}} a=ord_{p^{k}} a 或 p*ord_{p^{k}}a $ 。
这个是咱在改题时发现的奇怪问题
然后被ldysy2012秒证了orz
简单证明有空再补，大概上面也会精简一点。
原根
原根有点类似于正常数学（？）中的自然对数 $ e $ 。
所以我们在这里找到的类似于 $ e $ 的东西 $ g $ 它要满足能表示所有能表示的数。
若 $ g $ 为 $ m $ 原根，则有 $ gcd(g,m)=1,ord_mg=\phi(m) $。
性质
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$ g , g^2 , g^3 , …… g^{\phi(m)} $ 组成 $ m $ 的一个既约剩余系，更准确点说，它能表示所有与 $ m $ 互质的数。
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仅当 $ m=2 , 4 , p^x , 2∗p^x $ 时有原根（ $ p $ 为质数）
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若 $ m $ 有原根，那么其恰好有 $ \phi ( \phi (m)) $ 个在模 $ m $ 意义下不同的原根（阶的性质六）。
求原根
一般求原根只需要最小的那个
而这个原根确实会很小
将 $ \phi(n) $ 分解质因数后
判断 $ g $ 满足 $ \forall i,g^{\frac{\phi (n)}{p_{i}}} \ne 1 (mod \ n) $ 即可
指标
又叫离散对数。
字面意思就是个对数。
上面说过 $ g $ 的不同次幂组成 $ n $ 的既约剩余系，
设为 $ ind $ ，满足 $ ind(g^x)=x $。
较小的暴力求，较大的上BSGS。
一些有趣的东西
在某一天模拟赛改题时发现题解里说要求 $ ind $ 标程里却只求了 $ ord $。。。
然后发现了： $ ind_{m}a*ord_{m}a \equiv 0 (mod \ \phi (m))$。。。。。。
其中 $ ord_{m}a | \phi (m) $ ，所以可以表示 $ ind_{m}a = s*\frac{\phi(m)}{ord_{m}a} $ 。
其中 $ s $ 与 $ ord_{m}a $能保证互质，但我还(bu)没(hui)细证。
看出二者之间可能在一定条件下可以相互转换。
比如 $ gcd ( ind , \phi ) $
$ = gcd ( s * \frac{ \phi }{ ord } , \phi ) $
$ = \frac{ \phi }{ ord } $
也许在特定题中会很有用？因为求 $ ord $ 不比 $ ind $ 方便多了嘛
总结
并没有总结这种东西，
来看看相关水题吧
我错了不要打我嘤嘤嘤
