拓扑排序+不是字典序的优先级排列（POJ3687+HDU4857）
一、前言
在过去的一周里结束了CCSP的比赛，其中有一道题卡了我9个小时，各种调错都没法完整的调处来这题，于是痛下决心开始补题，这个是计划的一部分。事实上，基于错误的理解我写了若干发拓扑排序+字典序的算法，但是集体统一GG，最后发现，实际上要求设计的并不是严格意义上的最小字典序，而是“最小的必然放在最大的之前”这种看上去很类似但是时至完全不一样的说法。而这也是为什么，正想建树GG但是反向建树，用大顶堆来找最大的思路是正确的。这实际上等价于，“寻找最大字典序并且反向输出”这个过程。
首先看一组样例
1
3 1
3 1
对于改组样例，有约束——3必须在1前面，因为如果有最小字典序正想输出的算法就会得到2 3 1。但是这个数据明显的违反了题目对于顺序的规约——“如果存在一个1，能够在2前面，那么就必须把1放到2前面，在这之后，如果还有2能够放在3前面，就必须把2放到3前面”。于是我们直觉上认为，这种说法其实等价于，首先把所有可能的最大值全放到最后，用以保证不会有任何一个合法的小数放到大数的后面。正确的做法是，2 1 3（逆向输出是3，1，2）。这种方法从玄学上保证了输出“依照题目意思有序”。
二、思路和相关优化
思路简单的讲就是拓扑排序过程中，通过检测是否有新的元素已经可以被当做随时可以加入队列的元素，如果有，就加入优先队列，如果没有就继续。
一般来说，使用字典序输出拓扑排序是一件很简单的事情。对比了网上其他人写的代码，我们可以直观的认为至少有如下几种优化方式：
- 使用邻接表来存储具体的边信息而不是邻接矩阵。（可以证明，使用vector作为邻接表插入N条边的时间期望应当是O(N)）
- 使用优先队列、multiset来从集合中选取最大最小的元素
- 使用CNT[]数组来记录该点被指向的次数，之后在topsort当中通过对cnt数组相应元素的判断来确定这个值是不是等于零
三、通用AC代码
POJ3687
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<set> #include<vector> #include<queue> using namespace std; const long long MAXN=30233; vector<int>G[MAXN]; int cnt[MAXN]; long long n,m; int vis[MAXN]; bool dfs(int now) { vis[now]=1; int len=G[now].size(); for(int i=0;i<len;++i) { int tar=G[now][i]; if(vis[tar]==1)return true; if(vis[tar]==0&&dfs(tar))return true; }vis[now]=2; return false; } bool check_circle() { memset(vis,0,sizeof(int)*(n+5)); for(int i=1;i<=n;++i) { if(vis[i]==0&&dfs(i))return true; }return false; } int ans[MAXN]; void topSort() { priority_queue<int>q; int summ=n; for(int i=1;i<=n;++i) { if(cnt[i]==0)q.push(i); } while(!q.empty()) { int now=q.top();q.pop(); int len=G[now].size(); ans[now]=summ--; for(int i=0;i<len;++i) { int tar=G[now][i]; cnt[tar]--; if(cnt[tar]==0)q.push(tar); } } } void init() { memset(cnt,0,sizeof(int)*n+233); cin>>n>>m; for(int i=0;i<=n;++i) { G[i].clear(); } for(int i=0;i<m;++i) { int a,b; cin>>a>>b; G[b].push_back(a); cnt[a]++; } if(check_circle()) { cout<<"-1\n"; return ; } topSort(); for(int i=1;i<=n;++i) { cout<<ans[i]<<" "; }cout<<endl; } int main() { cin.sync_with_stdio(false); int ca; cin>>ca; while(ca--)init(); return 0; }
HDU4857
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<set> #include<vector> #include<queue> using namespace std; const long long MAXN=30233; vector<int>G[MAXN]; int cnt[MAXN]; long long n,m; int vis[MAXN]; bool dfs(int now) { vis[now]=1; int len=G[now].size(); for(int i=0;i<len;++i) { int tar=G[now][i]; if(vis[tar]==1)return true; if(vis[tar]==0&&dfs(tar))return true; }vis[now]=2; return false; } bool check_circle() { memset(vis,0,sizeof(int)*(n+5)); for(int i=1;i<=n;++i) { if(vis[i]==0&&dfs(i))return true; }return false; } int ans[MAXN]; void topSort() { priority_queue<int>q; int summ=n; for(int i=1;i<=n;++i) { if(cnt[i]==0)q.push(i); } while(!q.empty()) { int now=q.top();q.pop(); int len=G[now].size(); ans[summ--]=now; for(int i=0;i<len;++i) { int tar=G[now][i]; cnt[tar]--; if(cnt[tar]==0)q.push(tar); } } } void init() { memset(cnt,0,sizeof(int)*n+233); cin>>n>>m; for(int i=0;i<=n;++i) { G[i].clear(); } for(int i=0;i<m;++i) { int a,b; cin>>a>>b; G[b].push_back(a); cnt[a]++; } if(check_circle()) { cout<<"-1\n"; return ; } topSort(); for(int i=1;i<n;++i) { cout<<ans[i]<<" "; }cout<<ans[n]<<endl; } int main() { cin.sync_with_stdio(false); int ca; cin>>ca; while(ca--)init(); return 0; }
