Harris角点检测原理分析

看到一篇从数学意义上讲解Harris角点检测很透彻的文章，转载自：http://blog.csdn.net/newthinker_wei/article/details/45603583

主要参考了：http://blog.csdn.net/yudingjun0611/article/details/7991601 Harris角点检测算子

本文将该文拷贝了过来，并做了一些数学方面的补充，以方便对数学已经生疏的小伙伴们参考理解。由于补充的内容还挺多，所以还是将本文标注为了原创。

我增加的部分在文中用 {{ }} 圈了起来并用红色字体标注。

正文开始。

Harris角点检测算子是于1988年由CHris Harris & Mike Stephens提出来的。在具体展开之前，不得不提一下Moravec早在1981就提出来的Moravec角点检测算子。

1.Moravec角点检测算子

Moravec角点检测算子的思想其实特别简单，在图像上取一个W*W的“滑动窗口”，不断的移动这个窗口并检测窗口中的像素变化情况E。像素变化情况E可简单分为以下三种：A 如果在窗口中的图像是什么平坦的，那么E的变化不大。B 如果在窗口中的图像是一条边，那么在沿这条边滑动时E变化不大，而在沿垂直于这条边的方向滑动窗口时，E的变化会很大。 C 如果在窗口中的图像是一个角点时，窗口沿任何方向移动E的值都会发生很大变化。

上图就是对Moravec算子的形象描述。用数学语言来表示的话就是：

其中（x，y）就表示四个移动方向（1，0）（1，1）（0，1）（-1，1），E就是像素的变化值。Moravec算子对四个方向进行加权求和来确定变化的大小，然和设定阈值，来确定到底是边还是角点。

2.Harris角点检测算子

Harris角点检测算子实质上就是对Moravec算子的改良和优化。在原文中，作者提出了三点Moravec算子的缺陷并且给出了改良方法：

1. Moravec算子对方向的依赖性太强，在上文中我们可以看到，Moravec算子实际上只是移动了四个45度角的离散方向，真正优秀的检测算子应该能考虑到各个现象的移动变化情况。为此，作者采用微分的思想（这里不清楚的话可以复习下高数中的全微分）：

其中：

所以E就可以表示为：

2.由于Moravec算子采用的是方形的windows，因此的E的响应比较容易受到干扰，Harris采用了一个较为平滑的窗口——高斯函数：

3.Moravec算子对边缘响应过于灵敏。为此，Harris提出了对E进行变形：

对，没错，变成了二次型，果然是大牛，更牛的还在后面！其中，

用α，β表示矩阵M的特征值，这样会产生三种情况：A 如果α，β都很小，说明高斯windows中的图像接近平坦。 B 如果一个大一个小，则表示检测到边。 C 如果α，β都很大，那么表示检测到了角点。

α，β是什么？α，β就是椭圆的长短轴的度量，什么？椭圆哪里来？椭圆就是那个二次型函数来的！下图的意思我就不详细讲解了，相信大家能懂。

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转载注：NewThinker_wei：

关于矩阵知识的一点补充：好长时间没看过线性代数的话，这一段比较难理解。可以看到M是实对称矩阵，这里简单温习一下实对称矩阵和二次型的一些知识点吧。

1. 关于特征值和特征向量：

特征值的特征向量的概念忘了就自己查吧，这里只说关键的。对于实对称矩阵M（设阶数为n），则一定有n个实特征值，每个特征值对应一组特征向量（这组向量中所有向量共线），不同特征值对应的特征向量间相互正交；（注意这里说的是实对称矩阵，不是所有的矩阵都满足这些条件）

2. 关于对角化：

对角化是指存在一个正交矩阵Q，使得 Q’MQ 能成为一个对角阵（只有对角元素非0），其中Q’是Q的转置（同时也是Q的逆，因为正交矩阵的转置就是其逆）。一个矩阵对角化后得到新矩阵的行列式和矩阵的迹（对角元素之和）均与原矩阵相同。如果M是n阶实对称矩阵，则Q中的第 j 列就是第 j 个特征值对应的一个特征向量（不同列的特征向量两两正交）。

3. 关于二次型：

对于一个n元二次多项式，f(x1,x2....xn) = ∑ ( aij*xi*xj ) ，其中 i 和 j 的求和区间均为 [1,n] ，

可将其各次的系数 aij 写成一个n*n矩阵M，由于 aij 和 aji 的对称等价关系，一般将 aij 和 aji 设为一样的值，均为 xi*xj 的系数的二分之一。这样，矩阵M就是实对称矩阵了。即二次型的矩阵默认都是实对称矩阵

4. 关于二次型的标准化（正交变换法）：

二次型的标准化是指通过构造一个n阶可逆矩阵 C，使得向量 ( x1,x2...xn ) = C * (y1,y2...yn)，把n维向量 x 变换成n维向量 y ，并代入f(x1,x2....xn) 后得到 g(y1,y2...yn)，而后者的表达式中的二次项中不包含任何交叉二次项 yi*yj（全部都是平方项 yi^2），也即表达式g的二次型矩阵N是对角阵。用公式表示一下 f 和 g ，（下面的表达式中 x 和 y都代表向量，x' 和 y' 代表转置）

f = x' * M * x ;

g = f = x' * M * x = (Cy)' * M * (Cy) = y' * (C'MC) * y = y' * N * y ;

因此 C‘MC = N。正交变换法，就是直接将M对角化得到N，而N中对角线的元素就是M的特征值。正交变换法中得到的 C 正好是一个正交矩阵，其每一列都是两两正交的单位向量，因此 C 的作用仅仅是将坐标轴旋转（不会有放缩）。

OK，基础知识补充完了，再来说说Harris角点检测中的特征值是怎么回事。这里的 M 是

将M对角化后得到矩阵N，他们都是2阶矩阵，且N的对角线元素就是本文中提到的 α 和 β。

本来 E(x,y) = A*x^2 + 2*C*x*y + B*y^2 ，而将其标准后得到新的坐标 xp和yp，这时表达式中就不再含有交叉二次项，新表达式如下：

E(x,y) = Ep (xp,yp) = α*xp^2 + β*yp^2，

我们不妨画出 Ep (xp,yp) = 1 的等高线L ，即

α*xp^2 + β*yp^2 = 1 ，

可见这正好是(xp,yp)空间的一个椭圆，而α 和 β则分别是该椭圆长、短轴平方的倒数（或者反过来），且长短轴的方向也正好是α 和 β对应的特征向量的方向。由于(x,y)空间只是 (xp,yp)空间的旋转，没有放缩，因此等高线L在(x,y)空间也是一个全等的椭圆，只不过可能是倾斜的。

现在就能理解下面的图片中出现的几个椭圆是怎么回事了，图(a)中画的正是高度为 1 的等高线，（其他”高度“处的等高线也是椭圆，只不过长短轴的长度还要乘以一个系数）。其他的几幅图片中可以看到，“平坦”区域由于（高度）变化很慢，等高线（椭圆）就比较大；而”边缘“区域则是在一个轴向上高度变化很快，另一个与之垂直的轴向上高度变化很慢，因此一个轴很长一个轴很短；“角点”区域各个方向高度都变化剧烈，因此椭圆很小。我们人眼可以直观地看到椭圆的大小胖瘦，但如何让计算机识别这三种不同的几何特征呢？为了能区分出角点、边缘和平坦区域我们现在需要用α 和 β构造一个特征表达式，使得这个特征式在三种不同的区域有明显不同的值。一个表现还不错的特征表达式就是：

(αβ) - k(α+β)^2

表达式中的 k 的值怎么选取呢？它一般是一个远小于 1 的系数，opencv的默认推荐值是 0.04(=0.2的平方)，它近似地表达了一个阈值：当椭圆短、长轴的平方之比（亦即α 和 β两个特征值之比）小于这个阈值时，认为该椭圆属于“一个轴很长一个轴很短”，即对应的点会被认为是边缘区域。

对于边缘部分，（假设较大的特征值为β）由于 β>>α且α<kβ，因此特征式：

(αβ) - k(α+β)^2 ≈ αβ - kβ^2 < (kβ)β - kβ^2 = 0

即边缘部分的特征值小于0 ；

对于非边缘部分，α 和 β相差不大，可认为 (α+β)^2 ≈ 4αβ，因此特征式：