最小割

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简介

最小割是网络最大流算法的扩展

前置知识

• 网络最大流

讲解

首先给出定律：最小割等于最大流。

好，就这么多。现在去解题吧

顾名思义，最小割是在“割”，即将一个图分成 $A$ 和 $B$ 两个集合，其中 $S$ 可以到 $A$ 中所有点， $B$ 中所有点可以到 $T$ 。这个图的一个割就是指两个集合之间的流量。

这个割的性质可以解许多的题。

例题

P1345-[USACO5.4]奶牛的电信Telecowmunication

这题是一个最小割的应用，简单来说就是将一个点拆成两个，用权为1的边连接，其他正常的边用权为inf连接。

因为最大流等于最小割，所以跑一遍最大流就行了。

for(int i=1;i<=n;i++){
  add(i,i+n,1); // 每个点拆成两个点
}
for(int i=1;i<=m;i++){
  scanf("%d%d",&u,&v);
  add(u+n,v,114514); // 点与点之间的边不能被分割，为inf
  add(v+n,u,114514); // 双向跑，因为不知道哪边源点哪边汇点
}
ans = dinic(s,t); // S和T是题目中给出的两个点

P2762 太空飞行计划问题

这道题不容易想到是网络流，所以我们需要考虑转化。

考虑构建如下一个图：

将实验编号为1~m，m+1~m+n，然后源点连接所有实验，所有实验器材连接汇点，根据实验的依赖关系来进行连边。

对于边权，源点连接实验为实验的价值，仪器连接汇点为仪器的费用。

这里可以这么想：我已经拿到了实验的所有利润，然后一次一次割掉仪器或实验来让利润更大。

实验和仪器间的关系肯定不能被割掉，所以这里的边权可以设置为inf。

所以构建完图跑一边最小割即可，核心代码如下。

for (int i = 1; i <= m; i++)
{
  scanf("%d", &cost);
  sum+=cost;
  add(s, i, cost); // 源点连实验
  val = 0;
  ch=getchar();
  while (true)
  {
    ch = getchar();
    if (isdigit(ch))
      val = (val * 10) + (ch - '0');
      //可以替换成 val = (val<<1) + (val<<3) + (ch^48); (快速读入写法)
    else if (ch == ' ')
    {
      add(i, m + val, inf); // 实验连仪器
      val = 0;
    }
    else if (ch == '\r' || ch == '\n')
    {
      add(i, m + val, inf); // 实验连仪器
      val = 0;
      break;
    }
  }
}
 
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
  scanf("%d", &val);
  add(m + i, t, val); // 仪器连汇点
}

P2598-[ZJOI2009]狼和羊的故事

分析题目，可以转化为将所有狼和所有羊都不连通的方案。

所以将 $S$ 连所有羊，所有狼连 $T$ ，这些边的容量为 $inf$ （因为不能被割掉）。

此外，对于每个点，都要向四周连容量为 $1$ 的边，这些才是可以被割掉的。

int calcxy(int i,int j){return i+(j-1)*m;}

scanf("%d%d",&m,&n);
s=n*m+2;t=n*m+1;
for(int i=1;i<=m;i++){
  for(int j=1;j<=n;j++){
    scanf("%d",&tp);
    if(tp == 2)
      add(s,calcxy(i,j),inf);
    if(tp == 1)
      add(calcxy(i,j),t,inf);
  }
}
 
for(int i=1;i<m;i++)
  for(int j=1;j<=n;j++)
    add(calcxy(i,j),calcxy(i+1,j),1);
 
for(int i=1;i<=m;i++)
  for(int j=1;j<n;j++)
    add(calcxy(i,j),calcxy(i,j+1),1);
 
for(int i=2;i<=m;i++)
  for(int j=1;j<=n;j++)
    add(calcxy(i,j),calcxy(i-1,j),1);
    
for(int i=1;i<=m;i++)
  for(int j=2;j<=n;j++)
    add(calcxy(i,j),calcxy(i,j-1),1);
 
printf("%d",dinic());