复数

更新日志：

• 2023/10/15：发布文章
• 2023/11/12：进行了一个版面的优化和内容的补充

一、定义&性质

1. 定义

定义 \(\sqrt {-1} = i\)，\(i\) 为虚数单位

复数即为 \(z = a+bi\) 其中 \(a,b\in\mathbb{R}\)

2. 性质

(1) 加法定则

\[(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i \]

(2) 乘法定则

\[(a+bi)(c+di) = ac + bdi^2+bci+adi = (ac-bd)+(ad+bc)i \]

(3) 除法定则

\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \]

(4) 欧拉定理

\[e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \]

证明

前置芝士：泰勒展开（详见博客 多项式全家桶 - ricky_lin #泰勒展开）

我们对 \(e^x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 在 \(0\) 处进行泰勒展开

\[e^x = 1 + x + \frac 1 {2!}x^2 + \frac 1 {3!}x^3+… \]

\[\sin x = x - \frac 1 {3!}x^3 + \frac 1{5!}x^5 - … \]

\[\cos x = 1 - \frac 1 {2!}x^2 + \frac 1 {4!}x^4 - … \]

\[\therefore e^{ix} = 1 + ix + \frac 1 {2!}(ix)^2 + \frac 1 {3!}(ix)^3+… \]

\[= 1 + ix - \frac 1 {2!}x^2-\frac 1 {3!}ix^3+\frac 1 {4!}x^4 \]

我们进一步可以发现 \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\),即 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

二、复数在极坐标系下的表示

1. 极坐标中的复数

由 欧拉定理，对于复数 \(z = a + bi\)，令 \(\theta = \arctan \frac a b\)

• 在极坐标系中，其坐标为 \((\sqrt{a^2+b^2},\theta)\)，记 \(\rho = \sqrt{a^2+b^2}\)
• 则有 \(a = \rho \cos \theta,b = \rho \sin \theta\)
• 推出 \(z = \rho\cos\theta + i\rho \sin\theta = \rho(\cos\theta+i\sin\theta) = \rho e^{i\theta}\)

即对于虚数 \(z = a + bi\)，\(z = \rho e^{i\theta} = \sqrt{a^2+b^2}\times e^{i\times \arctan \frac a b}\)

我们可以惊奇地发现，在复数的表达方式进行了改变之后，复数的运算也变得有趣了起来

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2. 极坐标中复数的运算

我们首先令 \(a = \rho_1e^{i\theta_1},b = \rho_2e^{i\theta_2}\)，那么 \(a\) 在极坐标系中对应的坐标为 \(\rho_1,\theta_1\)、\(b\) 在极坐标系中对应的坐标为 \(\rho_2,\theta_2\)

(1) 加法

\[a + b = \rho_1e^{i\theta_1} + \rho_2e^{i\theta_2} = \rho_3e^{i\theta_3} \]

(2) 乘法

\[a\times b = \rho_1e^{i\theta_1}\times \rho _2e^{i\theta_2} = (\rho_1\rho_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)} \]

我们可以发现得到的 \(a\times b\) 在极坐标中对应的坐标为 \((\rho_1\rho_2,\theta_1+\theta_2)\)

这个性质非常的神奇，需要记牢

三、复数的三种表现形式

(1) 代数形式

\[z = x + yi \]

适用范围：计算复数的加减乘除

(2) 三角形式

\[z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \]

(3) 指数形式

\[z = r\cdot \exp(i\theta) \]

适用范围：这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便

三角形式 知识层面要求更低，但 指数形式 会更加地方便

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好像就没什么好说的了，完结撒花。

最后推荐观看 3Blue1Brown 的视频【官方双语】欧拉公式与初等群论 虽然说标题和复数一点关系都没有，但是里面的内容确实对理解复数意义很大