群论

合集 - 数学精讲(20)

1.概率与期望2023-10-152.BSGS&exBSGS2023-01-153.快速计算2023-01-134.exgcd 及其应用2023-01-155.二次剩余2023-10-156.复数2023-10-157.积性函数2023-10-158.多项式全家桶2023-07-28

9.群论2023-08-01

10.逆元2023-10-2511.数论分块2023-10-2612.快速计算2023-11-0813.组合基础2023-02-0914.二次剩余2023-01-1615.普通型生成函数2023-02-0816.CRT & exCRT2023-11-0317.筛法2023-10-1518.狄利克雷卷积2023-10-1519.复数2023-02-0920.导数2024-03-06

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一、引入

前置声明：

• 本文章讲述了群论在 OI 中的一点简单运用

• 需要一定的图论、生成函数基础

• 如果有什么建议或意见，欢迎评论、私信！！！

T1 有标号项链计数

给定正整数 $n,m$ 求用 $m$ 种颜色染色一个长为 $n$ 的项链的方案数，项链不能旋转

solution

答案显然是 $m^n$

哪个项链不能旋转？？？这道题明显脱离实际好吧

T2 无标号项链计数

给定正整数 $n,m$ 求用 $m$ 种颜色染色一个长为 $n$ 的项链的方案数，项链可以旋转

solution

我们可以用所有 $\lceil$旋转 $i$ 次$\rfloor$ 的操作来将所有项链 $\lceil$去重$\rfloor$，我们要问的是去重后的不同项链个数。

以 $n=4,m=2$ 为例：

$\lceil$旋转一次$\rfloor$串成环

：

于是答案就是 $6$

我们于是需要一个巧妙的方法，让每个环都只算一次。

巧妙的方法：

我们对所有的项链 $l$，计算 旋转 $r(r\le n)$ 次 后可以变成自己的 $pair(l,r)$ 的个数

例子

将上图项链记为 $l_1$，那么就有 $pair(l_1,2),pair(l_1,4)$ 满足条件

首先，我们计算对于每个项链，最少旋转 $L$ 次可以变成自己

我们知道项链长为 $n$，很容易知道做 $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},kL=n$，即可得到 $L|n$

那么一个 $r$ 是合法的，当且仅当 $L|r,r|n$，那么一共就有 $\frac{n}{L}$ 个合法的 $r$，而环中恰好有 $L$ 个元素，所以每个环对答案的贡献恰好为 $L\cdot \frac{n}{L}=n$，计算这值后除以 $n$ 就是答案。

然后，我们对每一个旋转 $r$ 次的操作计算，有多少个项链 $l$ 在 $\lceil$旋转$r$次$\rfloor$ 的作用下不变，这就是$\lceil$旋转$r$次$\rfloor$ 这个变换的不动点个数。

一个旋转操作会将项链分成若干个等价类，每个等价类的颜色必须相同，不同等价类间相互独立

例子

上图即为 $n=4,r=2$ 时的 $2$ 个等价类。

答案即为：

$$ans=\frac{1}{n}\sum _{r=1}^n{m}^{gcd(n,r)}$$

于是我们做到了 $O(n)$ 的复杂度

我们需要通过上面的方法，尝试总结归纳出通用的结论。

二、基础知识

1. 群和群作用

• 群：设 $G$ 为一个非空集合，在其中定义了一个二元运算 $\circ$，如果满足以下条件：
  • 封闭性：$\mathrm{\forall }f,g\in G,f\circ g\in G$
  • 结合律：$\mathrm{\forall }f,g,h\in G,(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$
  • 单位元：$\mathrm{\exists }f\in G,\mathrm{\forall }g\in G,g\circ e=e\circ g=g$
  • 逆元：$\mathrm{\forall }f\in G,\mathrm{\exists }g\in G,f\circ g=g\circ f=e$，我们称 $g$ 为 $f$ 的逆元，记作 $g=f^{-1}$

注意！！！没有交换律！！！

特别地，对于满足交换律的群，我们将其称作 交换群 / 阿贝尔群

还有一类特殊的群，置换群：如果群 $G$ 中的元素都是置换（排列），我们就称 $G$ 为 置换群

• 染色：我们称一个 $n$ 元数对 $c=(c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1})$ 为一个 $n$ 元的染色。

对于置换群众的一个置换 $g\in G$，我们定义它 $\lceil$作用$\rfloor$ 于染色 $c$ 上得到另一个染色 $c^{\prime }$ 式子如下：

$$g\cdot c=(c_{g_{(0)}},c_{g_{(1)}},\cdots ,c_{g_{(n-1)}})$$

例子

对于上面的T2，我们的一个项链即为一种染色

而题中的旋转即为置换：

$$\left\{\begin{array}{cc}& \{0,1,2,3,\cdots ,n-2,n-1\},\\ & \{1,2,3,4,\cdots ,n-1,0\},\\ & \{2,3,4,5,\cdots ,0,1\},\\ & \cdots \\ & \{n-1,0,1,2,\cdots ,n-3,n-2\}\end{array}\right\}$$

2. 轨道-稳定子群定理

我们之前的环即为轨道，对于一个染色 $c$ 我们定义其轨道为 $G\cdot c=\{g\cdot c|g\in G\}$

我们考虑，对于所有把 $c$ 映射到自己的元素组成的集合 $G_c=\{g\in G,g\cdot c=c\}$，容易发现
$(G_c,·)$ 也构成一个群，我们称其为 $c$ 在 $G$ 中的 $\lceil$稳定子群(Stable subgroup)$\rfloor$，有
时也称作 $\lceil$稳定子$\rfloor$。