群论
一、引入
前置声明:
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本文章讲述了群论在
OI
中的一点简单运用 -
需要一定的图论、生成函数基础
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如果有什么建议或意见,欢迎评论、私信!!!
T1 有标号项链计数
给定正整数 \(n,m\) 求用 \(m\) 种颜色染色一个长为 \(n\) 的项链的方案数,项链不能旋转
solution
答案显然是 $m^n$
哪个项链不能旋转???这道题明显脱离实际好吧
T2 无标号项链计数
给定正整数 \(n,m\) 求用 \(m\) 种颜色染色一个长为 \(n\) 的项链的方案数,项链可以旋转
我们需要通过上面的方法,尝试总结归纳出通用的结论。solution
我们可以用所有 $\lceil$旋转 $i$ 次$\rfloor$ 的操作来将所有项链 $\lceil$去重$\rfloor$,我们要问的是去重后的不同项链个数。以 \(n=4,m=2\) 为例:
![]()
\(\lceil\)旋转一次\(\rfloor\)串成环
:![]()
于是答案就是 \(6\)
我们于是需要一个巧妙的方法,让每个环都只算一次。
巧妙的方法:
我们对所有的项链 \(l\),计算 旋转 \(r~(r\leq n)\) 次 后可以变成自己的 \(pair(l,r)\) 的个数
例子
将上图项链记为 \(l_1\),那么就有 \(pair(l_1,2),pair(l_1,4)\) 满足条件
首先,我们计算对于每个项链,最少旋转 \(L\) 次可以变成自己
我们知道项链长为 \(n\),很容易知道做 \(\exists k\in \mathbb{Z},kL = n\),即可得到 \(L|n\)
那么一个 \(r\) 是合法的,当且仅当 \(L|r,r|n\),那么一共就有 \(\frac n L\) 个合法的 \(r\),而环中恰好有 \(L\) 个元素,所以每个环对答案的贡献恰好为 \(L\cdot\frac n L = n\),计算这值后除以 \(n\) 就是答案。
然后,我们对每一个旋转 \(r\) 次的操作计算,有多少个项链 \(l\) 在 \(\lceil\)旋转\(r\)次\(\rfloor\) 的作用下不变,这就是\(\lceil\)旋转\(r\)次\(\rfloor\) 这个变换的不动点个数。
一个旋转操作会将项链分成若干个等价类,每个等价类的颜色必须相同,不同等价类间相互独立
例子
上图即为 \(n = 4,r = 2\) 时的 \(2\) 个等价类。
答案即为:
\[ans = \frac 1 n\sum\limits_{r=1}^nm^{\gcd(n,r)} \]于是我们做到了 \(O(n)\) 的复杂度
二、基础知识
1. 群和群作用
- 群:设 \(G\) 为一个非空集合,在其中定义了一个二元运算 \(\circ\),如果满足以下条件:
- 封闭性:\(\forall f,g\in G,f\circ g \in G\)
- 结合律:\(\forall f,g,h\in G,(f\circ g)\circ h = f\circ(g\circ h)\)
- 单位元:\(\exists f\in G,\forall g\in G,g\circ e = e\circ g = g\)
- 逆元:\(\forall f\in G,\exists g \in G,f\circ g = g\circ f = e\),我们称 \(g\) 为 \(f\) 的逆元,记作 \(g = f^{-1}\)
注意!!!没有交换律!!!
特别地,对于满足交换律的群,我们将其称作 交换群
/ 阿贝尔群
还有一类特殊的群,置换群
:如果群 \(G\) 中的元素都是置换(排列),我们就称 \(G\) 为 置换群
- 染色:我们称一个 \(n\) 元数对 \(c = (c_0,c_1,\cdots,c_{n-1})\) 为一个 \(n\) 元的染色。
对于置换群众的一个置换 \(g\in G\),我们定义它 \(\lceil\)作用\(\rfloor\) 于染色 \(c\) 上得到另一个染色 \(c'\) 式子如下:
例子
对于上面的T2,我们的一个项链即为一种染色
而题中的旋转即为置换:
2. 轨道-稳定子群定理
我们之前的环即为轨道,对于一个染色 \(c\) 我们定义其轨道为 \(G\cdot c = \{g\cdot c|g\in G\}\)
我们考虑,对于所有把 \(c\) 映射到自己的元素组成的集合 \(G_c = \{g \in G,g \cdot c = c\}\),容易发现
\((G_c, ·)\) 也构成一个群,我们称其为 \(c\) 在 \(G\) 中的 \(\lceil\)稳定子群(Stable subgroup)\(\rfloor\),有
时也称作 \(\lceil\)稳定子\(\rfloor\)。
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