图论选做

P3465 [POI2008]CLO-Toll [基环树] [并查集] [提高+/省选-]

考虑依照题意，只要有一个环并且图连通，就能满足每个点在一些边定向后，都有为1的入度。

即选择一些边构成一个外向基环树，就可以满足题意

solution:

• 先跑出一棵生成树
• 找一条非树边（这样就能找到一个环），并对这个环定向
• 然后依次对其他点进行定向

P1640 [SCOI2010] 连续攻击游戏 [二分图匹配] [基环树] [提高+/省选-]

考虑第一眼看过去，有点像网络流里面的最小割，便有了以下思路1,2；

考虑后面回顾整理时和上面这道题有点像，便有了思路3；

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solution1(网络流):

• 考虑将一个属性拆成两个点，一个装备的两个属性连边(连双向边)，源点$S$向所有左部点，所有右部点向汇点$T$连边
• 然后跑网络流，$S$出流的顺序是从$1\sim n$的左部点，如果$S$连向第$i$个点的边没有流，那么答案为$i-1$

时间复杂度：$O(200\times N)$

solution2(二分图匹配):

• 考虑建图类上：将一个属性拆成两个点，一个装备的两个属性连边(连双向边)
• 然后从左部点的$1$号点开始match，一直到不能找到增广路为止

时间复杂度： $O(10000\times N)$ （好像可能会炸，但是真的能过耶，而且还跑得挺快的，最长122ms）

solution3(基环树)：

• 实际上可以是装备为边，不用拆点然后建图
• 然后我们可以知道，和上面这道题一样，都是边的定向问题，一个联通块内，只要有环就都可以选。没有环就舍去最大的那个

时间复杂度： $O(N+10000)$

P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯 [二分答案] [并查集] [普及+/提高]

考虑最大值最小（这么典的提示为什么一开始没看到呢！可能是题目的迷惑性确实很强，也可能是太久没做二分图的题了）

solution：

• 二分答案
• 考虑把所有的$\le mid(\mathrm{二}\mathrm{分}\mathrm{值})$的边连上(其实可以不用真的连)，然后并查集维护联通块个数，$\le 2$合法，否则不合法，最后取最小的合法答案即可。