复数

一、定义&性质

定义\(\sqrt {-1} = i\)，\(i\)为虚数单位

复数即为\(z = a+bi~\)其中\(a,b\in R\)

​ 1.加法定则：

\[(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i \]

​ 2.乘法定则：

\[(a+bi)(c+di) = ac + bdi^2+bci+adi = (ac-bd)+(ad+bc)i \]

​ 3.除法定则

\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \]

​ 4.欧拉定理

\[e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \]

证明

我们对\(e^x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)在\(0\)处进行泰勒展开

\[e^x = 1 + x + \frac 1 {2!}x^2 + \frac 1 {3!}x^3+… \]

\[\sin x = x - \frac 1 {3!}x^3 + \frac 1{5!}x^5 - … \]

\[\cos x = 1 - \frac 1 {2!}x^2 + \frac 1 {4!}x^4 - … \]

\[\begin{aligned} \therefore e^{ix} = & 1 + ix + \frac 1 {2!}(ix)^2 + \frac 1 {3!}(ix)^3+…\\ = & 1 + ix - \frac 1 {2!}x^2-\frac 1 {3!}ix^3+\frac 1 {4!}x^4 \end{aligned} \]

我们进一步可以发现 \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\)，即 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

二、复数&极坐标系

什么，你告诉我你不会极坐标系？？那这个视频可能对你有用link

由欧拉定理，对于虚数\(z = a + bi\)，令\(\theta = \arctan \frac a b\)

• 在极坐标系中，其坐标为\((\sqrt{a^2+b^2},\theta)\)，记\(\rho = \sqrt{a^2+b^2}\)
• 则有\(a = \rho \cos \theta,b = \rho \sin \theta\)
• 推出\(z = \rho\cos\theta + i\rho \sin\theta = \rho(\cos\theta+i\sin\theta) = \rho e^{i\theta}\)

即对于虚数\(z = a + bi\)，\(z = \rho e^{i\theta} = \sqrt{a^2+b^2}\times e^{i\times \arctan \frac a b}\)

我们可以惊奇地发现，在虚数的表达方式进行了改变之后，虚数的运算也变得有趣了起来

此处令\(a = \rho_1e^{i\theta_1},b = \rho_2e^{i\theta_2}\)，那么\(a\)在极坐标系中对应的坐标为\(\rho_1,\theta_1\)、\(b\)在极坐标系中对应的坐标为\(\rho_2,\theta_2\)

​ 1.极坐标意义下的加法

\[a + b = \rho_1e^{i\theta_1} + \rho_2e^{i\theta_2} = \rho_3e^{i\theta_3} \]

​ 好像也没什么的呀？(但是请继续耐心看下去)

​ 2.极坐标意义下的乘法

\[a\times b = \rho_1e^{i\theta_1}\times \rho _2e^{i\theta_2} = (\rho_1\rho_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)} \]

我们可以发现得到的\(a\times b\)在极坐标中对应的坐标为\((\rho_1\rho_2,\theta_1+\theta_2)\)

好像就没什么好说的了，完结撒花。

最后推荐观看3Blue1Brown的视频【官方双语】欧拉公式与初等群论虽然说标题是这些东西，但是里面的内容确实对理解虚数意义很大