数位DP

一、常见题面

• 求两个数之间的满足特定条件的数的方案数（提高+/省选- 位数为\(10 ^ 6\)；省选/NOI- 位数为\(10 ^{18}\)or有一些奇奇怪怪的操作）

例子：

待完善

• 求两个数之间的满足特定条件的数并对数进行一定操作，得出答案

例子：

待完善

二、 算法详解

1. 本质

将数按位进行拆分，进行记忆化搜索/DP递推的算法

2. 算法来源

对于两个数（例子：12345、33345），后缀(345)相同，且后缀所处”环境“下，相同部分的方案数相同，为避免重复计算相同后缀的方案，故有数位DP

3. 适用范围

• 没有后效性

• 后缀相同的情况下，后缀所对应的方案数相同

• 数可拆分的性质

4.细节

所有的 ·数位dp 都 非常的套路，难点通常在于想到用 数位DP 来解决

一般的形式类似于 \(dp[now][…][0/1]\) 表示现在从高到低处理到了第 \(now\) 位，\(0/1\) 表示是否顶上界，... 是对于每个题不同的限制的状态设计

5. code

记忆化搜索：

int dfs(int now,……,bool low){
	if(now <= 0) return ……;//当前的数位
	if(~dp[now][……][low])return dp[now][……][low];//判断是否搜过
	int res = 0,top = low ? 9 : num[now];//确定枚举上界
	for(int i = 0; i <= top; ++i){
		res += dfs(now-1,……,low || i != top);
	}
	return dp[now][……][low] = res;
}
int solve(ll x){
	ll res = 0;
	if(x < 1e10) return 0;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	for(len = 0; x; x /= 10)num[++len] = x % 10;//对上界进行拆分
	for(int i = 1; i <= num[len]; ++i)
		res += dfs(len-1,……,i < num[len]);
	return res;
}//预处理数组

递推：

//一开始dp初始化成0
//dp[1~n] 从高到低表示数
for(int now = 1; now <= n; ++cur){
	for(int j...){
		for(int lim = 0; lim < 2; ++lim){
			int up = lim ? num[now] : 9;
			for(int i = 0;i <= up; ++i)
				dp[now + 1][...][lim & (i == up)] += dp[now][...][lim];
		}
	}
}

三、如何从切蓝题到切紫题

通常你需要下面的这些工具：

• 矩阵加速递推：P2657 [SCOI2009] windy 数\(\Rightarrow\)P2106 Sam数
• 将一个数进行拆分的能力：SDOI2010]代码拍卖会
• 二进制相关知识（CF1710C XOR Triangle）
• ……未完待续(因为本蒟蒻做的 数位DP 的紫题不是很多，不能很好地概括，请原谅 _{(@^_^@)})