BSGS&exBSGS

合集 - 数学精讲(20)

1.概率与期望2023-10-15

2.BSGS&exBSGS2023-01-15

3.快速计算2023-01-134.exgcd 及其应用2023-01-155.二次剩余2023-10-156.复数2023-10-157.积性函数2023-10-158.多项式全家桶2023-07-289.群论2023-08-0110.逆元2023-10-2511.数论分块2023-10-2612.快速计算2023-11-0813.组合基础2023-02-0914.二次剩余2023-01-1615.普通型生成函数2023-02-0816.CRT & exCRT2023-11-0317.筛法2023-10-1518.狄利克雷卷积2023-10-1519.复数2023-02-0920.导数2024-03-06

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一、BSGS

1. 简介

即baby(boy) step giant(girl) step算法，用于处理 $a^x\equiv b(modp)$，给 $a,b,p$（$a,p$ 互质) 求所有的 $x$ 的问题中

本质上有一点点像二分搜索的意味在里面

2. 算法流程

​ 有 $a^x\equiv b\mathrm{mod}p$
​
​ 令 $x=A\lceil \sqrt{p}\rceil -B$，其中 $0\le A,B\le \lceil \sqrt{p}\rceil$
​
​ $\Rightarrow a^{A\lceil \sqrt{p}\rceil -B}\equiv b\mathrm{mod}p$
​
​ $\Rightarrow a^{A\lceil \sqrt{p}\rceil }\equiv b\times a^B\mathrm{mod}p$
​
我们可以把所有的 $b\times a^i,i\in [1,\lceil \sqrt{p}\rceil ]$ 存在一个映射数据结构（hash/map/unordered_map）上
​
枚举 $A$ ($1\to n$)，在映射数据结构上查找是否含有 $a^{A\lceil \sqrt{p}\rceil }$，

3. 时间复杂度

​ 显然地，复杂度为 $O(\sqrt{p})$，（因为 $A,B\le \sqrt{p}$）
​
​ 如果使用 map/unordered_map 则为 $O({\log }_p\sqrt{p})$

注：建议做 UVA10225，洛谷 P3846 数据有亿点水

4. 警戒点

• $\sqrt{p}$ 一定要上取整
• $b\times a^i$，i 从0->n!
• $a^i$，i 从1->n!

5. 代码

typedef long long ll;
map<ll,ll>  Map;
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
	Map.clear();
	ll t = ceil(sqrt(p));//必须加上ceil
	ll k = 1;
	Map[b%p] = 0;
	for(ll i = 1; i <= t; ++i)Map[(k = k * a % p) * b % p] = i;//计算b*a^i
	a = 1;
	for(ll i = 1; i <= t; ++i){
		a = a * k % p;
		if(Map.count(a))//在映射数组中找a^i
			return i*t-Map[a];
	}
	return -1;
}
int main(){
	ll p,b,n,ans;
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n))
		if((ans = BSGS(b,n,p)) != -1)printf("%lld\n",ans);
		else puts("no solution");
	return 0;
}

二、exBSGS

1. 简介

​ exBSGS $a^x\equiv b(modp)$，给 $a,b,p$ $(a,p$不互质$)$求所有的 $x$ 的问题中

2. 算法实现

​ 此时 $a\times a^{x-1}\equiv b(modp)$，令 $d=gcd(a,p)$

​ 左右同除 $d$

​ $\therefore \frac{a}{d}\times a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}(mod\frac{p}{d})$

​ 特别的，当 $d\nmid b$ 则无解

​ 就可以转化为 $a^{x-1}\equiv b^{{}^{\prime }}\times k^{-1}(mod{p}^{{}^{\prime }})$，其中 $p^{{}^{\prime }}=\frac{p}{d},k=\frac{a}{d},b^{{}^{\prime }}=\frac{b}{d}$

​ 继续递归，直到 $a,p$ 互质，那么再跑一遍 BSGS 即可

3. 警戒点

(1) 为了节省时间，我们将每次的 $k$ 累乘，最后再求逆元。但是会出现一个问题，当 $\prod k=b$ （当前的）时，我们实际上的 $b_{real}=\frac{b}{\prod k}=1$，此时需要退出递归，并返回 $0$

hack数据：a = 18 b = 16 p = 14 ans = 2

(2) 计算累乘时应该对下一轮的 $p$ 取模

(3) 我们要在递归前对 $a,b$ 取模，让 $a,b<p$

(4) 初始时 $b=1$ 或 $p=1$，我们可以直接输出 $0$，因为 $x=0$ 时满足条件

hack数据:a = 18 b = 49 p = 48 ans = 0

(5) 计算逆元的时候需要使用 exgcd 而不是 快速幂 因为 $\prod k,p$ 可能不互质

4. 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
map<ll,ll>  Map;
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
	Map.clear();
	ll t = ceil(sqrt(p));
	ll k = 1;
	Map[b%p] = 0;
	for(ll i = 1; i <= t; ++i)Map[(k = k * a % p) * b % p] = i;
	a = 1;
	for(ll i = 1; i <= t; ++i){
		a = a * k % p;
		if(Map.count(a))
			return i*t-Map[a];
	}
	return -1;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){x = 1;y = 0;return a;}
	ll d = exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return d;
}
ll inv(ll a,ll b){
	ll x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	return (x % b + b) % b;
}
ll gcd(ll x,ll y){return y ? gcd(y,x%y) : x;}
ll x = 1;//即上面说的k
ll exBSGS(ll a,ll b,ll p){
	ll d = gcd(a,p);
	if(b == x)return 0;//相等判定
	if(d == 1){
		return BSGS(a,b*inv(x,p) % p,p);//使用exgcd
	}
	if(b % d != 0)return -1;
	else{
		x = a/d * x % (p/d);
		ll res = exBSGS(a,b/d,p/d); 
		if(res == -1)return -1;
		return res + 1;
	}
}
ll a,p,b;
int main(){
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b)){
		x = 1;
		if(a == 0 && b == 0 && p == 0)break;
		a%=p;b%=p;
		if(b==1||p==1){
			puts("0");continue;//递归之前判定
		}
		ll res = exBSGS(a%p,b%p,p);
		if(res == -1)puts("No Solution");
		else printf("%lld\n",res);
	}
}