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exgcd 及其应用

更新日志：

2023/01/15：初稿发布
2023/10/15：更改了一些 markdown 格式和文章结构，使文章更加可读

一、前置芝士

裴蜀定理
同余的性质

二、exgcd

1. 适用范围

exgcd 即 扩展欧几里得定理，常用来求解 $a x + b y = g c d (a, b)$ 的可行解问题

2. 推导过程：

考虑我们有：

$a x + b y = gcd (a, b)$ ——裴蜀定理

$a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} = gcd (a_{1}, b_{1})$

我们求解 gcd 时，通常有：

$gcd (a_{1}, b_{1}) \to gcd (a_{2}, b_{2}) = gcd (b_{1}, b_{1} % a_{1})$

$a_{2} x_{2} + b_{2} y_{2} = gcd (a 2, b 2) \Rightarrow b_{1} x_{2} + (b_{1} % a_{1}) y_{2} = gcd (b_{1}, b_{1} % a_{1})$

直到 $gcd (a_{n}, b_{n}) b_{n} = 0$

$a_{n} x_{n} + b_{n} y_{n} = gcd (a_{n}, b_{n}) \Rightarrow a_{n} x_{n} + 0 * y_{n} = gcd (a_{n}, 0) = a_{n}$

此时我们看出， $x_{n} = 1 ， y_{n} = 0$ （ $y_{n}$ 其实可以取任意一个数）时是一组特殊解

现在我们考虑怎么从 $n \to 1$ 推出我们需要的一组 $x, y$

从上面给出的例子，我们可以推出：

$∵ gcd (a, b) = gcd (b, a % b)$

$∴ a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} = b_{1} x_{2} + (a_{1} - ⌊ \frac{a_{1}}{b_{1}} ⌋ \times b_{1}) y_{2} = a_{1} y_{2} + b_{1} (x_{2} - ⌊ \frac{a_{1}}{b_{1}} ⌋ y_{2})$

然后我们可以推出：

${\begin{cases} x_{i} = y_{i + 1} \\ y_{i} = x_{i + 1} + ⌊ \frac{a_{i}}{b_{i}} ⌋ y_{i + 1} \end{cases}$

3. 代码：

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x = 1;y = 0;return a;}
	int d = exgcd(b,a%b,x,y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return d;
}

4. 常见应用

(1) 同余方程

定义：

形如 $a x \equiv b \mod n$ 的方程称为同余方程，其中 $a, b, n$ 给出，求 $x$

求解方式：

我们按上面的方程可以化出这个式子 $a x + n k = b$

用 exgcd 求解即可

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posted @ 2023-01-15 16:24 ricky_lin 阅读(44) 评论(0) 编辑收藏举报

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	int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x = 1;y = 0;return a;}
	int d = exgcd(b,a%b,x,y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return d;
	}