exgcd 及其应用

更新日志：

• 2023/01/15：初稿发布
• 2023/10/15：更改了一些 markdown 格式和文章结构，使文章更加可读

一、前置芝士

• 裴蜀定理
• 同余的性质

二、exgcd

1. 适用范围

exgcd 即 扩展欧几里得定理，常用来求解 \(ax + by = gcd(a,b)\) 的可行解问题

2. 推导过程：

考虑我们有：

\(ax + by = \gcd(a,b)\)——裴蜀定理

\(a_1x_1 + b_1y_1 = \gcd(a_1,b_1)\)

我们求解 gcd 时，通常有：

\(\gcd(a_1,b_1)\rightarrow \gcd(a_2,b_2) = \gcd(b_1,b_1\%a_1)\)

\(a_2x_2+ b_2y_2 = \gcd(a2,b2)\Rightarrow b_1x_2 + (b_1\%a_1) y_2 = \gcd(b_1,b_1\%a_1)\)

直到 \(\gcd(a_n,b_n)\ \ b_n = 0\)

\(a_nx_n+b_ny_n = \gcd(a_n,b_n)\Rightarrow a_nx_n + 0 * y_n = \gcd(a_n,0) = a_n\)

此时我们看出，\(x_n = 1，y_n = 0\)（\(y_n\) 其实可以取任意一个数）时是一组特殊解

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现在我们考虑怎么从 \(n\rightarrow1\) 推出我们需要的一组\(x,y\)

从上面给出的例子，我们可以推出：

\(\because \gcd(a,b) = \gcd(b,a\%b)\)

\(\therefore a_1x_1 + b_1y_1 = b_1x_2 + (a_1-\lfloor\frac{a_1}{b_1}\rfloor\times b_1)y_2 = a_1y_2 + b_1(x_2-\lfloor\frac{a_1}{b_1}\rfloor y_2)\)

然后我们可以推出：

\(\begin{cases}x_i = y_{i+1} \\ y_i = x_{i+1}+\lfloor\frac{a_i}{b_i}\rfloor y_{i+1}\end{cases}\)

3. 代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x = 1;y = 0;return a;}
	int d = exgcd(b,a%b,x,y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return d;
}

4. 常见应用

(1) 同余方程

定义：

形如 \(ax\equiv b \mod n\) 的方程称为同余方程，其中 \(a,b,n\) 给出，求 \(x\)

求解方式：

我们按上面的方程可以化出这个式子 \(ax+nk = b\)

用 exgcd 求解即可