数学精讲- - ricky_lin

摘要：一、基本概念 1. 随机试验具有以下特点的试验称为随机试验（通常用

E

表示）：可以在相同条件下重复进行可能出现的结果有多个且试验之前知道所有的结果试验结束后出现哪种结果是随机的说人话：就是在相同条件下对某随机现象进行的大量重复观测例子

E_{1}

：抛一枚硬币，观察正、反面出

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0

BSGS&exBSGS

摘要：如标题

28

0

快速计算

摘要：同标题

22

0

exgcd 及其应用

摘要：如标题

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0

二次剩余

摘要：更新日志： 2023/10/15：发布文章一、前置芝士勒让德符号：介绍

(\frac{n}{p}) = {\begin{cases} 1 & n 为 二 次 剩 余 & 记 作 Q R \\ 0 & n \equiv 0 (m o d p) & 记 作 0 \\ - 1 & n 不 为 二 次 剩 余 & 记 作 N R \end{cases}

\((n-p)

6

0

复数

摘要：更新日志： 2023/10/15：发布文章 2023/11/12：进行了一个版面的优化和内容的补充一、定义&性质 1. 定义定义

\sqrt{- 1} = i

，

i

为虚数单位复数即为

z = a + b i

其中

a, b \in R

2. 性质 (1)

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0

积性函数

摘要：更新日志： 2023/10/15：发布文章一、定义若函数

f (x)

满足：

f (1) = 1

且

\forall x, y \in N_{+}

，

g c d (x, y) = 1

，都有

f (x y) = f (x) f (y)

，则

f (x)

为积性函数通俗

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0

多项式全家桶

摘要：一、前置芝士 1. 基本概念多项式：有限项相加的求和式

\sum a_{n} x^{n}

，记作

f (x) = \sum a_{n} x^{n}

多项式的度(次数)：对于一个多项式

f (x)

，称其最高次项的次数为该多项式的度（

d e g r e e

），也称次数，记作

\deg f

级数：

271

0

1

群论

摘要：一、引入前置声明：本文章讲述了群论在 OI 中的一点简单运用需要一定的图论、生成函数基础如果有什么建议或意见，欢迎评论、私信！！！ T1 有标号项链计数给定正整数

n, m

求用

m

种颜色染色一个长为

n

的项链的方案数，项链不能旋转 solution 答案显然是

15

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逆元

摘要：一、？？？ 1. 线性求逆元我们记原数为

x

，模数为

p

那我们有

a, b \in Z (x > b)

p = a x + b

那么：

a x + b \equiv 0 \mod p

两边同乘

x^{- 1} \times b^{- 1}

： \[a\times

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0

数论分块

摘要：一、应用情景求

\sum_{i = 1}^{n} g (i) ⌊ \frac{n}{i} ⌋, n \leq 10^{12}

二、常见结合莫比乌斯反演 …… 三、算法原理&代码实现实际上，

⌊ \frac{n}{i} ⌋

的取值其实最多

54

0

快速计算

摘要：一、快速幂 1. 算法原理求

a^{b} mod p

的结果。我们可以将

b

进行二进制拆分，并构造如下算法： \[a^b \bmod p=\begin{cases}(a^{\frac b 2})^2 \bmod p&\texttt{b is even}\a(a^{\frac{b

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0

组合基础

摘要：组合数学基础

28

2

二次剩余

摘要：二次剩余常用来求解

x^{2} \equiv n (m o d p)

，给出

n, p (p \in 奇 素 数)

求

x

的问题中即对

p

进行

m o d p

意义下的开根如果说 $\begin{cases}存在 x\in N^,x^2\equiv n(mod\ p)& n为二次剩余 \ 不

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0

1

普通型生成函数

摘要：普通型生成函数一、定义构造这么一个多项式函数

F (x)

，使得

x

的

n

次方系数为

f (n)

。

F [x] = \sum_{i = 0}^{\infty} f (i) x^{i}

二、格式声明 ==为逻辑判断符，=为运算符号 [表达式] 表达式值为真返回

1

，否则返回$\

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1

CRT & exCRT

摘要：一、CRT 1. 前置芝士 exgcd 2. 应用范围求解同余方程组： \[\begin{cases}x\equiv a_1\mod m_1\x\equiv a_2\mod m_2\x\equiv a_3\mod m_3\~~~~~~~~~~~~~\vdots\x\equiv a_k\mo

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筛法

摘要：更新日志： 2023/10/15：发布文章一、埃氏筛 1. 算法原理略 2. 时间复杂度

O (n \log \log n)

详细证明见oi-wiki 3. 代码实现 bool vis[NN]; int prime[NN],cnt; typedef long long ll; void

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狄利克雷卷积

摘要：更新日志： 2023/10/15：发布文章一、前置芝士积性函数卷积二、定义对于两个数论函数

f (x), g (x)

的狄利克雷卷积的结果

h (x)

定义为

h (x) = \sum_{d | x} f (d) g (\frac{x}{d})

，简记为

h = f * g

特别地，由于

9

0

复数

摘要：一、定义&性质定义

\sqrt{- 1} = i

，

i

为虚数单位复数即为

z = a + b i

其中

a, b \in R

1.加法定则：

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

2.乘法定则： \[(a+bi)(c+di) = ac + bdi

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导数

摘要：\[\begin{aligned} & [u(x)\cdot v(x)]'\ = & \lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)} {\Delta x}\ = & \lim_{\Delta x \to 0}

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