初等数论及其应用——欧几里得算法

  欧几里得是数论当中最基本的定理，以其为基础的拓展欧几里得算法在解决同余方程、求模逆元等问题。

 

  首先来介绍几个概念，数论当中一些基本的概念其实在小学就学过，但是很长一段时间并没有用到它们，因此这里再拿出来温习一下。

  我们常常用a|b来表示b能够整除a(b > a)，即b/a是整数，但是“|”在使用的过程中容易和绝对值、几何定义符、条件概率混淆，所以，这里我们用a\b来表示a能够整除b。

 

  约数：如果b\a，则称b是a的约数。

  倍数：如果b\a，则称a是b的倍数。

  最大公约数：gcd(a,b) = max{k | k\a 且k\b}。

  最小公倍数：lcm(a,b) = min{k | k>0 , a\k 且b\k}

 

  那么现在我们面临一个重要的问题，给出一系列数字，我们想要通过一个程序得到这些数字的最大公约数或者最小公倍数， 应该怎么做呢？

  容易想到穷举，当然，容易想到的代价是牺牲大量的时间，我们需要用更好的思维去简化这个过程。

 

  计算最大公约数的方法：欧几里得算法.

  n>m,gcd(m,n) = gcd(n % m, m) ， gcd(0,n) = n.

  证明：

  n = qm + r，r>0。
  我们假设存在这样一个d，它是m、n的公因子，即d\a 且 d\b。

  可以看到r = n - qm ，假如c = xa + yb，且d\a，d\b，那么d\c。这里是同样道理，所以d\r，加上之前的d\b，定理成立.

    

   基于这个结论，我们在求解gcd(m,n)(n > m)的时候，可以转而去求gcd(n % m , m).

  求gcd(n % m , m)的时候，可以转而去求gcd(m%(n%m) , n%m)

  ……

  这就形成了一个递归性质的求解过程，可能在说这个递归的流程你就会质疑，上面的证明过程我们给出的公因子相同，但是如何保证其是最大公因子(最大公约数)呢？想象一下这个递归过程，如果保证了递归的最后一层得到的公因子d是最大公因数，那么最终我们就会返回一个最大公约数。

那么现在我们要解决的一个主要问题变成了：递归的最底层是什么呢？或者说，递推到什么程度开始“归”呢？想象一下，递推下去的终点，gcd(a,b)的a、b中必然有一个数是0，然后用我们在定理中定义的：gcd(a,0) = a.a其实就是整个递归过程中的解，这保证了递归过程中传递的约数一直是最大公约数。

而在设计递归程序的时候，为了得到返回值(即上一段的a)，我们规定gcd(a,b)函数a>b，这样返回结果即为：gcd(a,0),返回a.

 参考代码如下：

#include<cstdlib>

#include<iostream>

using namespace std;

long long gcd(int a , int b)

{

     if(b == 0)

          return a;

     else  return gcd(b , a%b);

}

 

  以欧几里得算法为基础进行拓展，得到的拓展欧几里得算法能够帮助我们解决更多的问题，尤其是模方程问题。

 

 

 

   基于上面的推导，我们就可以编程来实现这样一个求解二元一次方程ax+by=gcd(x,y)的一个特解了，参考代码如下：

 

 //ax + by = gcd(a,b)，函数返回值为gcd(a,b)
long long extend_gcd(long long a , long long b, long long &x , long long &y)
{
     if(a == 0 && b == 0)  return -1;
     if(b == 0){x = 1 , y = 0;return a;}
     long long d = extend_gcd(b,a%b,y,x);
     y -= a/b*x;
     return d;
} 

 

 

  拓展欧几里得算法一个重要应用就是求剩余系下的逆元.

                     

  与矩阵逆元类似，我们先去讨论逆元的存在性，再去解决如何求解逆元.

  

 

  计算方法：

  承接对逆元存在性的分析

  考察而原方程ax+my=1

  利用拓展欧几里得算法计算x(需要保证在m剩余系下)

  简单的参考代码如下：

 

//ax = 1(mod n)，返回x，即为a在n下的逆元
long long mod_reverse(long long a , long long n)
{
    long long x , y;
    long long d = extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d == 1)  return (x%n+n)%n;
    else        return -1;
}