组合数学及其应用——斐波那契数

  斐波那契数列是一个非常有名的数列，它有着各种各样神奇的性质并且和自然界有着千丝万缕的联系。通过这篇文章我们将详细的阐述这个看似简单的数列的背后蕴含的神奇性质。

 

  引入斐波那契数的问题：

  在一年的开始，把新生的雌雄一对兔子放进一个笼子里。从第二个月开始，每个月这个雌兔子胜出雌雄一对兔子。而每对新出生的雌雄兔子也从第二个月开始生兔子，确定一年后笼子里有多少对兔子？

 

  分析：我们直接考虑通过递推的方法来得到这个问题的泛解(即任意个月后的数量都可以计算)，我们记f[n]表示第n天的兔子数量，它的来源有两个：当月出生的兔子以及不是当月出生的兔子，显然不是当月出生的兔子的数量是一个月前即第n-1个月的兔子数量f[n-1]；而当月出生的兔子的数量，考虑到兔子需要1个月生长发育，应该是第n-2个月的兔子数量f[n-2]，即有如下的递推关系：

  f[n] = f[n-1] + f[n-2],n≥3

 

  下面给出斐波那契数的完整定义：

 

                        

  

 

 

  这个结果的神奇之处体现在，一个由整数组成的数列，通项形式是由无理数表示出来的，并且这其中蕴含了黄金分割，从这里出发将会推出斐波那契数很多有意思的性质

  值得一提的是，改变斐波那契数列的前两项，递推关系不变，我们采取相同的方法依然可以可以得到递推关系的解，但是这里c1、c2会发生改变。