《University Calculus》-chape12-偏导数-基本概念

  偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广。

  关于定义域的开域、闭域的推广：

 

  其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周，只不过这里用了更加规范的数学语言。

  

  二次函数的图形、层曲线(等值曲线)：

  一元函数的定义域在x轴上，函数图像在xoy面上；二元函数的定义域在xoy面上，函数图像在空间当中，而三元函数的定义域对应着空间的集合体。这里面对二元、三元函数我们有一个最基本的问题，就是勾勒出它们的大致图像，虽然目前有数学软件可以较为快速准确的描绘出函数的图像，但是掌握一定的确定函数图像的技巧会为后面多重积分寻找积分区域打下基础。

  层曲线的概念(以二元函数为例)：

  z=f(x,y)所有等于c的点构成的集合，形成的曲线，叫做层曲线，或者说是等值曲线。

  很显然，既然规定了z的值，这相当于规定了它是在z=c的平面中，因此它本质上是二维图形，这就是这里我们为什么称其为等值曲线而不是什么等值曲面的原因。

  我们以一道例题尝试勾勒二元函数的图像。

    

 

  从层曲线的角度我们能够较好的确定二元函数的图像，容易看到该二元函数的值域是[0,100]，当f(x,y)=c，我们在z=c上得到一系列圆周，而当我们取x=0的时候，在yoz面上会得到一个抛物线(这个在空间几何当中会详细介绍通过函数关系式能够判断其几何图形是有某曲线旋转而来的)。

  其实际的几何图形可由精密的数学软件绘制。

  

 

 

  下面我们开始引入偏导数的概念。

  仍然以二元含住z=f(x,y)为例。

                         

  这里我们首先从一个确定点(x0,y0)开始。这里我们用平面y=y0这个平面来截取已知函数(在图中呈现的是一个没有封闭的曲面),很容易看到，这里我们在y=y0平面上得到了一条曲线，这就回到了一开始在二维平面内我们对导数的定义，因此这里采用相同的定义方式：

   

  这里显然我们将变量y换成了常数y0，在运算过程中，能够将y换成常数进行计算也可以将其视为常数最后求出偏导数再带入。也就是说，对于函数对x的偏导数，变量y就退化成了一个参数，我们得到的偏导数是表征原函数和平面y=y0交出来的连续曲线上各点的切线。

  那么从对称性看，对y的偏导数有类似的定义。