《Linear Algebra and Its Applications》-chaper5-特征值与特征向量-基本概念

  基于之前章节的铺垫，我们这里能够很容易的引出特征向量和特征值的概念。

  首先我们知道n x n矩阵的A和n维向量v的乘积会得到一个n维的向量，那么现在我们发现，经过计算u=Av，得到的向量u是和v共线的，就是说向量v乘以矩阵A得到的向量u相对于向量v“拉伸”了，即满足如下的一个式子：

  Av =λv=u

  那么这里我们称λ是矩阵A的特征值，v是对应特征值的特征向量。

 

  严谨定义如下：

           

 

  定理1：

  三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。

 

  在证明之前，我们首先需要对定义做更充分的挖掘，特征向量x不能是零向量，我们将定义中的式子转变一下，即：

  矩阵方程(A-λI)x=0，存在非平凡解的时候，才有特征值λ存在。

 

    

 

  定理2：