几何习题

 

  其实几何类的问题也可以分成两大类，不仅仅所有的几何问题都是叉积和设计繁琐的穷举，也会出现一些很偏几何的题目，这种时候，进行充分的数理分析是非常重要的。

 

  Q1：

    修水管问题：

  话说最近柴小俊迷上了一款战略经营游戏《部落冲突》，他在修建筑的时候面临这样一个问题，他的军营被夹在两条河流之间，现在它想在两条河流的边上修筑供水点，并且需要用水管将两个供水点分别与军营连接起来(两个供水点之间也要相连)，那么身为Acmer的你，能否当一次参谋，告诉柴小俊他最少需要准备多长的水管呢？

  输入：我们以一条河流为x轴建系数，两条河流在(0,0)交汇。

  点A的坐标(另一条河流上的一点,假定其在第一象限)。

  点B的坐标(数据保证它落在两条直线的内部)。

  输出：

  输出柴小俊修建水管的最小长度。

 

  分析：我们首先要做的应该是将这个实际问题抽象成数学(几何)问题，很容易看到，这道问题描述的是如下一个图形。

 

 

                       

  给出了直线OA，和夹在x、OA之间的B，那么现在需要你求解三角形BCD的最小周长，其中C、D必须分别落在OA和x轴上。

 

  首先我们先进行最优解的分析，也就是我们得找到这个最优三角形。我们任意画一个三角形BCD，很容易看到，这里我们分别做B关于OA、x轴的对称点，记作E、F,那么根据中垂线的性质，我们发现三角形的周长变成了DC+CD+DF，那么为了使得和最小，应该令E、C、D、F共线，也就是说，连接E、F,与OA、x的交点就是最优三角形的顶点C、D。

 

  那么现在问题的关键变成了怎么求一个点关于一条直线的对称点(点A关于直线l的对称点B)。

  容易看到，我们可以把这个过程分为两个过程：

(1)    作点关于A在直线l上的投影，记作C。

(2)    基于投影，我们进行向量运算，点C + 向量CA。(想一想，为什么)

 

那么我们的问题再次简化：如何求A在l上的投影？

这里就需要进行一些简单的运算。

 

  有了这些铺垫，我们就不难求得两个对称点，它们之间的距离也就是这道问题的最终解。

 

Q2：

等周问题.

话说柴小俊成功修完水管之后，实力大增(节省了材料)，成功攻占了地方阵营，经过谈判，在敌方阵营中(一个三角形区域)，柴小俊能够用长度为L的绳子圈出一块区域作为自己的领地，那么机智的你，能否告诉柴小俊他最多能够圈多大的面积呢？

输入：

给出三角形三个顶点的坐标、  绳长L。

输出：

柴小俊能够圈出的最大面积。

 

分析：首先我们脱离这个具体问题本身，来想清楚另外一个问题：周长L的所有平面几何图形中，面积最大的是谁？

其实这就是著名的等周问题，答案是圆。其最严谨的证明在数学分析的课本中往往会介绍变分法来证明，但是这里我们利用一个初等的技巧来简单的证明一下。

证明：

首先我们能够看到，最大面积的图形必然是“凸型曲线”，因为如果是凹陷的，我们能够将凹陷处向外翻折，周长没变但是显然面积增大了。

其次，我们应该看到，最大面积图形中，任取一点A，再做另外一点B，使得曲线AB的长度是L的一半，直线AB左右两侧的面积应该是相同的。因为如果不同，我们可以做那个面积较大的部分关于AB的对称，依然是周长没变，面积变大。

最后，基于上边的要点，我们发现，只要找到了不闭合曲线L/2和直线AB围成图形的最大面积，那么我们通过对称就可以得到最终的最大面积图形。这里在长度为L/2的不闭合曲线上取一个点C，假设这里弦AC及其对应的弧围成的面积是最大的、BC及其对应的弧围成的面积是最大的，那么现在最优解的问题又转化了：一直三角形的两边AC、BC，△ABC的最大面积是多少？很显然，由三角形的面积公式S=1/2absinC可知，C是直角的时候面积最大。那么在这段弧上处处取这样的点，都要满足这个结论，最终我们会得到一个半圆。

 最后我们就得到了一个圆。

 证毕。

 

那么我们现在再次回到这个问题，会出现如下三种情况：

(1)L小于三角形内切圆的周长，那么这表明L可以在三角形内部圈出一个完整的圆。

(2)L大于三角形的周长，那么圈出的面积就是这个三角形。

(3)介于二者之间。

 能够看到，对于(1)(2)两种情况非常好处理，难处理的是(3)。

 看这样一个图。

 

  首先我们要搞明白这种情况下的曲线的性质。

  这里首先确定这样一件事情：图中直线部分的长度和曲线部分长度分别都是定值，然后对于曲线部分，利用等周定理，我们应该拼出一个圆才能够使得面积最大。

  也就是我们得到这样要给结论，这种情况下最大面积的图形，三段曲线是一个整圆的三部分。

  然后依据性质做具体而有效的计算。

  S(白) = S(大三角)-S(小三角)+S(小内切圆)

  结合初等数学相似比的方法，便可求解。

  简单的参考代码如下：

  

  #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-9;
const double pi=acos(-1.0);
double a, b, c, l;
bool cmp(double a , double b)
{
     return a < b ? 1 : 0;
}
int main()
{
double len, hl, cosc, area, res, r, k;
int tt=1;
double edge[3];
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf", &edge[0], &edge[1], &edge[2], &l) != EOF)
   {
       if(fabs(edge[0])<eps && fabs(edge[1])<eps && fabs(edge[2])<eps && fabs(l)<eps)  break;

      sort(edge,edge + 3,cmp);
       a = edge[0],b = edge[1] , c = edge[2];
          len=a+b+c;

       cosc=(a*a + b*b - c*c)/(2*a*b);
        if(fabs(cosc)<eps)  area=a*b/2                    , r=(a+b-c)*0.5;
        else                area=a*b*sqrt(1-cosc*cosc)*0.5, r=area*2.0/len;

        if(2*pi*r>=l)
      {
           r = l/(2*pi);
           res = pi*r*r;
      }
        else if(l>=len)  res=area;

        else
       {
           k=(len-l)/(len-2*pi*r);
             r*=k;
         res=area-area*k*k+pi*r*r;
       }

        printf("Case %d: %.2lf\n", tt++, res);

    }

    return 0;
}