《University Calculus》-chape10-向量和空间几何学-叉积

 

  叉积概念的引入：

  在平面中我们为了度量一条直线的倾斜状态，为引入倾斜角这个概念。而通过在直角坐标系中建立tan α = k，我们实现了将几何关系和代数关系的衔接，这其实也是用计算机解决几何问题的一个核心，计算机做的是数值运算，因此你需要做的就是把几何关系用代数关系表达出来。而在空间中，为了表示一个平面相对空间直角坐标系的倾斜程度，我们利用一个垂直该平面的法向量来度量(因为这转化成了描述直线倾斜程度的问题)。

  叉积的定义：

                           

 

 

  注意这里的θ是根据右手法则和叉乘的顺序确定的，是具有一定的方向性，这种定义直接导致了叉乘在计算几何问题上的广泛应用。

  通过这个定义式，我们马上能够很容易的得到如下的运算规律。

  

 

 

  显然这个定义式我们不怎么喜欢，因为它代数化程度还是太浅，主要就是由于角的正弦值我们不好找，但是这丝毫不影响这个定义式在应用当中的重要性，下面我们需要解决的问题就是，找到一个等价的代数化程度更高的定义式。

 

  叉积的行列式公式(以二维为例)：

   

  这里为什么是向量i叉乘向量j而不是向量j叉乘向量i，其实涉及到一个矢量的传递性，它的描述太过繁琐，这里暂且不提。