《A First Course in Mathematical Modeling》-chaper1-差分方程建模

  从今天开始笔者将通过这个专栏可是对“数学建模”的学习。其实对于“数学建模”自身的内涵或者意义并不需要太多的阐释，下图简洁明了的阐释了数学建模的意义。

 

  其实数学建模本身可以看成换一种角度去解读数学，将我们所熟悉的数学模型应用到现实生活的具体问题当中去。

 

  对变化进行建模：

  如上图所示，数学模型一个很大的功用就是对未来进行推测，即对“变化”的一种推测。

  首先给出“变化”最基本的定义：

变化= 未来值-现在值。

那么如果我们对这个“变化”建立了时间函数，那么基于现在值，我们就能够很好的推算未来值了。

对于离散时间上的变化，我们常用差分方程进行建模，而对于连续时间上的变化，则常常利用微分方程进行建模，这里微分方程的建模会在chaper10中单独讨论，在chaper1中主要讨论对离散时间上的变化的建模。

关于差分方程的概念：

设数列A={a0,a1,a2……an}，则其一阶差分如下;

△     a0=a1-a0

△     a1=a2-a1

△     a2=a3-a2

第n个一阶差分为△an=a(n+1)-an

我们通过一个例子简单的去应用它。

 

 Ex1：一份初始价值为1000美金的储蓄基金，月利率为1%,将其价值设为A，在n个月后的价值分别为1010,1020.10,10030.30 .

  建立一阶差分：

△     a0 = a1 – a0 = 10

△     a1 = a2 – a1 = 10.10

△     a2 = a3 – a2 = 10.20

不难建立第n个一阶差分：△an = a(n+1) – an = 0.01an

所以我们可以写出差分方程的通式：

a(n+1) = 1.01an

此时我们再加上a0=1000的初始条件，我们就得到了动力系统模型。

所谓动力系统，就是一个能够表达无穷多个代数，它能够表征相邻离散时间点(也就是一个周期内)的变化情况。很容一看到，有了差分方程，我们知道了某一项，就能够计算出它的下一项，但是不能直接计算出某一特定项的值。