《University Calculus》-chape4-导数的应用-极值点的二阶导数检验法

  函数凹凸性检验：

 

  很容易看到，观察类似抛物线这类曲线，能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程，而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义：

  (1)如果函数图像在区间I上向上凹，则f’(x)在区间I上递增。

  (2)如果函数图像在区间I上向下凹，则f’(x)在区间I上递减。

 

      局部极值二阶导数检验法：

                         

    证明：回想起我们最原始判断极值的方法，我们要考察极值点两侧导数的正负，对于(1),在c两侧取x=x0,x1应有f’(x0)<0,f’(x0)=0,f’(x1)>0，即f的导数在一个含c的区间上，导函数呈单调递增，这个条件可以用f’’(x)>0来表述。

  对于(2)，有类似的证明办法。

  而对于情况(3)，对于幂函数y=x^a，a取得2、3、4都有不同的结果，因此无法检验。