《University Calculus》-chaper13-多重积分-三重积分的引入

  承接之前对一重积分和二重积分的介绍，这里我们自然的引出三重积分。

  在二重积分的引入中，我们曾经埋下过一个小伏笔，二重积分的几何意义是求解一个体积，但是我们仅仅限定在了曲顶柱体的几何体，那么对于完全由曲面D包裹的空间D’，我们如何求其体积呢？

  我们很自然的能够想到，从x、y、z三个维度作平行线，然后把D’分割成了n个小长方体，如下图。

 

  伴随着n趋于无穷，我们可以完美的得到D’区域的体积。

             

  个人认为，这个例子仅仅是为了自然的引出三重积分的概念和形式，在实际应用中，很难通过这个方法来计算各种各样不规则几何体的体积(因为你难以用定义域的形式准确表征边界D)，这些东西笔者会在后序的文章中详细介绍。

  为了将三重积分的形式和二重积分、一重积分的黎曼和的形式保持一致，我们可以将三重积分表述成如下的黎曼和的形式：